中五数学练习卷：指数与对数（12 题・100 分・75 分钟・附答案）｜原创模拟试题

练习卷 · DSE 数学：指数与对数全卷

本卷共 12 题、100 分、75 分钟，涵盖指数定律、指数方程、对数定律与对数方程的解法，并加入细菌增长、放射性衰减与对数直线图三类应用题。每题附完整步骤与评分要点，适合中五学生于校内试前作全卷计时练习。

卷面资料　年级：中四（S5）　｜　科目：数学　｜　时限：75 分钟　｜　总分：100 分　｜　题数：12

考生须知：本卷分甲、乙、丙三部，全部题目均须作答，总分 100 分，时限 75 分钟。

作答指数与对数方程时须写出所用定律；解对数方程后必须检查真数为正数，并舍去不合的根。

除特别指明外，数值答案须准确至三位有效数字。

建议先用约 35 分钟完成甲部，再用 25 分钟处理乙部，最后 15 分钟复核丙部的应用题。

甲部：指数定律与指数方程

化简、求值与指数方程

#	题目	答案与评分要点
1	化简 (a) (2x³)² × 3x⁻⁴ ÷ 6x²；(b) 求 27^(2/3) + 16^(−1/2) 的值，并写出所用的指数定律。	（a）(2x³)² = 4x⁶（2 分），乘以 3x⁻⁴ 得 12x²（2 分），再除以 6x² 得 2（1 分）。（b）27^(2/3) = 9（2 分），16^(−1/2) = 1/4，合计 37/4，即 9.25（1 分）。
2	解指数方程 3^(2x−1) = 27^(x−2)。	（a）把 27 写成 3³，右边化为 3^(3x−6)（4 分）。（b）比较指数得 2x − 1 = 3x − 6，解得 x = 5（4 分）。
3	已知 log₂ 3 = 1.585，求 (a) log₂ 48；(b) log₂ 0.75，答案准确至三位小数。	（a）48 = 16 × 3，故 log₂ 48 = 4 + 1.585 = 5.585（4 分）。（b）0.75 = 3 ÷ 4，故 log₂ 0.75 = 1.585 − 2 = −0.415（4 分）。
4	解对数方程 log₂ (x + 3) + log₂ (x − 3) = 4。	（a）合并对数得 log₂ (x² − 9) = 4（3 分）。（b）即 x² − 9 = 16，x² = 25，得 x = 5 或 x = −5（3 分）。（c）真数须为正数，故 x = 5，−5 舍去（3 分）。

求值、化简与解对数方程

#	题目	答案与评分要点
5	某细菌种群的数量为 N = 500 × 2^(t/3)，t 以小时计。(a) 求 t = 9 时的数量；(b) 求数量增至 16000 所需的时间。	（a）N = 500 × 2³ = 4000（4 分）。（b）2^(t/3) = 16000 ÷ 500 = 32 = 2⁵（2 分），故 t/3 = 5，t = 15 小时（2 分）。
6	不用计算机，求 (a) log₅ 125 + log₄ (1/16)；(b) log₇ 49³ 的值。	（a）log₅ 125 = 3（2 分），log₄ (1/16) = −2（1 分），合计 1（1 分）。（b）log₇ 49³ = 3 × log₇ 49 = 3 × 2 = 6（4 分）。
7	已知 log 2 = 0.3010、log 3 = 0.4771（以 10 为底），求 (a) log 12；(b) log 0.15。	（a）log 12 = 2 log 2 + log 3 = 0.6020 + 0.4771 = 1.0791（4 分）。（b）0.15 = 3 ÷ 20，故 log 0.15 = 0.4771 − 1.3010 = −0.8239（4 分）。
8	化简 (a) logₐ 8 ÷ logₐ 2；(b) logₐ a³，其中 a 为正数且 a ≠ 1。	（a）logₐ 8 = 3 logₐ 2，故商为 3（4 分）。（b）logₐ a³ = 3 logₐ a = 3（4 分）。

增长、衰减与对数直线图

#	题目	答案与评分要点
9	解方程 log (x − 1) + log (x + 2) = 1（以 10 为底）。	（a）合并得 log[(x − 1)(x + 2)] = 1（3 分）。（b）即 (x − 1)(x + 2) = 10，整理成 x² + x − 12 = 0（3 分）。（c）解得 x = 3 或 x = −4；因真数须为正数，故 x = 3（3 分）。
10	解方程 4^x − 5 × 2^x + 4 = 0。	（a）设 u = 2^x，方程变为 u² − 5u + 4 = 0（3 分）。（b）(u − 1)(u − 4) = 0，得 u = 1 或 u = 4（3 分）。（c）2^x = 1 得 x = 0；2^x = 4 得 x = 2（2 分）。
11	某放射性物质的质量为 m = 80 × (1/2)^(t/5) 克，t 以年计。(a) 求 t = 10 时的质量；(b) 求质量降至 10 克所需的年数。	（a）m = 80 × (1/2)² = 20 克（4 分）。（b）(1/2)^(t/5) = 10 ÷ 80 = 1/8 = (1/2)³（3 分），故 t/5 = 3，t = 15 年（2 分）。
12	已知 log y = 2 log x + log 3，其中 x 为正数。(a) 求 y 与 x 的关系式；(b) 求 x = 10 时 y 的值。	（a）log y = log x² + log 3 = log(3x²)（4 分），故 y = 3x²。（b）当 x = 10，y = 3 × 10² = 300（3 分），并说明 y 随 x 增大而增大（2 分）。

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