中五数学练习卷：概率、随机变量与统计分布（100 分）

2026-11-11

练习卷 · 中五数学 · 概率与统计

中五数学练习卷：全卷 6 题 24 部分、100 分、75 分钟。内容涵盖条件概率与列联表、独立事件与加法法则、离散随机变量的期望值与方差、正态分布的标准化与查表、二项分布的期望与概率，以及标准差、变异系数与数据变换。每题附完整步骤与评分要点，适合校内测验及 DSE 数学科操卷。

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卷面资料　年级：中五　｜　科目：数学　｜　时限：75 分钟　｜　总分：100 分　｜　题数：24

第一题　条件概率与列联表

某校 200 名中五学生中，120 人有参加补习，其余 80 人没有参加。有补习的学生之中 90 人及格，没有补习的学生之中 45 人及格。

#	题目	答案与评分要点
1	求随机抽出一名学生而该生及格的概率。	答案：及格人数 = 90 + 45 = 135，概率 = 135 ÷ 200 = 0.675。
2	已知该生及格，求该生有参加补习的概率。	答案：P(有补习 \| 及格) = 90 ÷ 135 = 2/3 ≈ 0.667。
3	分别求有补习与没有补习的学生及格的概率，并比较两者。	答案：有补习者 90 ÷ 120 = 0.75；没有补习者 45 ÷ 80 = 0.5625。前者高出 0.1875，即 18.75 个百分点。
4	说明本题的数据能否证明补习导致及格率上升。	答案：不能。本题只是观察数据，没有随机分组，学生的基础、动机与家庭支援等变数可能同时影响补习与成绩，故只可说两者有关联，不能断定因果。

第二题　独立事件与加法法则

某校中五学生选修延伸单元二（M2）的概率为 0.6，选修物理的概率为 0.5。已知两项选择互相独立。

#	题目	答案与评分要点
5	求一名学生同时选修 M2 与物理的概率。	答案：P(M2 且物理) = 0.6 × 0.5 = 0.30。
6	求一名学生至少选修其中一科的概率。	答案：P(至少一科) = 0.6 + 0.5 − 0.30 = 0.80。
7	求一名学生两科都没有选修的概率。	答案：P(两科皆无) = (1 − 0.6)(1 − 0.5) = 0.4 × 0.5 = 0.20，与 1 − 0.80 一致。
8	求一名学生只选修其中一科的概率。	答案：只选 M2 为 0.6 × 0.5 = 0.30，只选物理为 0.4 × 0.5 = 0.20，合计 0.50。

第三题　离散随机变量的期望值与方差

某店每日售出某款笔记本的数量 X 的概率分布如下：P(X = 0) = 0.1、P(X = 1) = 0.3、P(X = 2) = 0.4、P(X = 3) = 0.2。每本售价 40 元，该店每日固定成本 20 元。

#	题目	答案与评分要点
9	求 E(X)。	答案：E(X) = 0×0.1 + 1×0.3 + 2×0.4 + 3×0.2 = 0 + 0.3 + 0.8 + 0.6 = 1.7 本。
10	求 Var(X)。	答案：E(X²) = 0 + 0.3 + 4×0.4 + 9×0.2 = 0.3 + 1.6 + 1.8 = 3.7；Var(X) = 3.7 − 1.7² = 3.7 − 2.89 = 0.81。
11	求 X 的标准差。	答案：标准差 = 根号 0.81 = 0.9 本。
12	求每日利润的期望值。	答案：利润 = 40X − 20，故 E(利润) = 40 × 1.7 − 20 = 68 − 20 = 48 元。

第四题　正态分布与标准化

某科成绩服从正态分布，平均值 62 分，标准差 8 分。已知 P(Z 小于 1) = 0.8413、P(Z 小于 2) = 0.9772、P(Z 小于 −1) = 0.1587。

#	题目	答案与评分要点
13	求成绩低于 70 分的概率。	答案：z = (70 − 62) ÷ 8 = 1，概率 = 0.8413，即 84.13%。
14	求成绩高于 78 分的概率。	答案：z = (78 − 62) ÷ 8 = 2，概率 = 1 − 0.9772 = 0.0228，即 2.28%。
15	求成绩介乎 54 分与 70 分之间的概率。	答案：z 分别为 −1 与 1，概率 = 0.8413 − 0.1587 = 0.6826，即 68.26%。
16	若有 500 名考生，估计有多少人成绩高于 78 分。	答案：500 × 0.0228 = 11.4，即约 11 人。

第五题　二项分布

某选择题测验每题有四项选择，只有一项正确。一名学生完全靠猜答，共答 8 题。设 X 为答对题数。

#	题目	答案与评分要点
17	写出 X 的分布并求 E(X)。	答案：X 服从二项分布 B(8, 0.25)，E(X) = 8 × 0.25 = 2 题。
18	求 X 的方差与标准差。	答案：Var(X) = 8 × 0.25 × 0.75 = 1.5；标准差 = 根号 1.5 ≈ 1.22 题。
19	求全部答错的概率。	答案：P(X = 0) = 0.75 的 8 次方 ≈ 0.1001，即 10.01%。
20	求至少答对一题的概率。	答案：P(X 大于或等于 1) = 1 − 0.1001 = 0.8999，即 89.99%。

第六题　标准差、变异系数与数据变换

甲班 30 人数学平均分 62，标准差 9；乙班 30 人数学平均分 68，标准差 5。

#	题目	答案与评分要点
21	分别计算两班的变异系数，并判断哪一班成绩较分散。	答案：甲班 9 ÷ 62 × 100% ≈ 14.52%，乙班 5 ÷ 68 × 100% ≈ 7.35%。甲班较大，故甲班成绩相对较分散。
22	解释为何比较两班分散程度时要同时用标准差与平均值。	答案：标准差有单位且受平均值大小影响，平均分相差 6 分时直接比标准差会误导；变异系数把标准差化成平均值的百分比，去除尺度影响，才可公平比较。
23	若甲班每人加 5 分，求新的平均值与标准差。	答案：平均值变为 62 + 5 = 67，标准差仍为 9，因为整体平移不改变各人分数之间的差距。
24	若改为每人分数乘 1.1，求新的平均值与标准差。	答案：平均值 = 62 × 1.1 = 68.2，标准差 = 9 × 1.1 = 9.9。

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