中文（繁體）
中文（简体）
English
中五数学练习卷：指数对数、数列、二次方程、概率与统计（100 分）
练习卷 · 中五数学 · 数列与概率统计
中五数学练习卷，共六题，涵盖指数律与对数方程、等比与等差数列的项与和、二次方程的判别式与配方求顶点、不放回抽球的概率与条件概率、平均数中位数标准差及整体平移的影响，并以储蓄计划综合应用数列，全部附完整答案及评分要点，适合校内试与 DSE 备考。
卷面资料 年级：中五 ｜ 科目：数学 ｜ 时限：75 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：24
第 1 题 指数与对数（18 分）
本题所有答案须显示步骤，取近似值者准确至三位有效数字。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | (a) 化简 (2^3 × 2^-5) ÷ 2^-4。 | 答案：指数相加得 2^(3 − 5 + 4) = 2^2 = 4。 |
| 2 | (b) 解方程 log₂ x + log₂ (x − 2) = 3。 | 答案：合并得 log₂ [x(x − 2)] = 3，即 x(x − 2) = 8，化为 x² − 2x − 8 = 0，得 x = 4 或 x = −2；因真数须为正，故 x = 4。 |
| 3 | (c) 解方程 3^(2x) − 10 × 3^x + 9 = 0。 | 答案：令 y = 3^x，得 y² − 10y + 9 = 0，故 y = 1 或 y = 9，即 3^x = 1 或 3^x = 9，所以 x = 0 或 x = 2。 |
| 4 | (d) 用换底公式求 log₄ 8 的值。 | 答案：log₄ 8 = log 8 ÷ log 4 = 1.5。 |
第 2 题 等比数列（17 分）
某等比数列的首项为 5，公比为 3。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 5 | (a) 求该数列的第 6 项。 | 答案：T₆ = ar⁵ = 5 × 3^5 = 1215。 |
| 6 | (b) 求首 6 项之和。 | 答案：S₆ = a(r⁶ − 1)/(r − 1) = 5 × 728 ÷ 2 = 1820。 |
| 7 | (c) 若另一等比数列首项为 5、公比为 1/3，求其无限项之和。 | 答案：因 |r| 小于 1，S∞ = a/(1 − r) = 5 ÷ (2/3) = 7.5。 |
| 8 | (d) 判断 405 是否为本题数列的项，若是，指出是第几项。 | 答案：解 5 × 3^n = 405，得 3^n = 81，n = 4，所以 405 是第 5 项。 |
第 3 题 二次方程与二次函数（16 分）
各小题独立作答。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 9 | (a) 若方程 x² + kx + 9 = 0 有重根，求 k 的正值。 | 答案：判别式 k² − 36 = 0，得 k = ±6，取正值 k = 6。 |
| 10 | (b) 解方程 2x² − 7x + 3 = 0。 | 答案：判别式 = 49 − 24 = 25，x = (7 ± 5) ÷ 4，得 x = 3 或 x = 0.5。 |
| 11 | (c) 求 y = x² − 6x + 5 的顶点坐标及对称轴。 | 答案：配方得 y = (x − 3)² -4，顶点为 (3, -4)，对称轴为 x = 3。 |
| 12 | (d) 两数之和为 14、之积为 45，求该两数。 | 答案：两数为 t² − 14t + 45 = 0 的根，判别式 = 16，故两数为 9 和 5。 |
第 4 题 概率（17 分）
袋中有 4 个红球、3 个蓝球及 5 个绿球，共 12 个球，除颜色外完全相同。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 13 | (a) 随机抽出一个球，求抽出红球的概率。 | 答案：P = 4/12 = 1/3 ≈ 0.3333。 |
| 14 | (b) 不放回接连抽出两个球，求两个都是红球的概率。 | 答案：P = (4/12) × (3/11) = 1/11 ≈ 0.0909。 |
| 15 | (c) 不放回抽出两个球，求至少有一个绿球的概率。 | 答案：P(没有绿球) = (7/12) × (6/11)，故 P(至少一个绿球) = 1 − 42/132 = 15/22 ≈ 0.6818。 |
| 16 | (d) 已知第一个抽出的球是红球，求第二个是蓝球的概率。 | 答案：袋中余 11 个球，其中 3 个蓝球，P = 3/11 ≈ 0.2727。 |
第 5 题 统计（16 分）
五名学生的测验分数为 4、7、7、9 及 13。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 17 | (a) 求平均数。 | 答案：总和 = 40，平均数 = 40 ÷ 5 = 8。 |
| 18 | (b) 求中位数。 | 答案：由小至大排列后中间的数为 7。 |
| 19 | (c) 求标准差，准确至三位有效数字。 | 答案：离差平方和 = 44，方差 = 44 ÷ 5 = 8.8，标准差 = 2.9665。 |
| 20 | (d) 若每名学生的分数都增加 3 分，写出新平均数及新标准差。 | 答案：新平均数 = 11，标准差不受整体平移影响，仍为 2.9665。 |
第 6 题 等差数列与储蓄计划（16 分）
志明第一个月存入 $500，之后每个月都比上一月多存 $80。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 21 | (a) 求第 12 个月的存款额。 | 答案：T₁₂ = 500 + 11 × 80 = $1380。 |
| 22 | (b) 求首 12 个月的存款总额。 | 答案：S₁₂ = 12 × (500 + 1380) ÷ 2 = $11280。 |
| 23 | (c) 若他要累积 $20000，求最少需要多少个月。 | 答案：Sₙ = n(2 × 500 + (n − 1) × 80) ÷ 2；n = 17 时为 $19380，n = 18 时为 $21240，故最少 18 个月。 |
| 24 | (d) 说明为何等差数列模型不适合预测十年后的存款。 | 答案：模型假设每月增幅永久固定，实际收入与开支会变动，长期推算会高估或低估，故不宜作长期预测。 |
TutorZone 练习卷｜题目与文章为原创，并非任何学校或出版社的教材。