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中五数学练习卷：概率、排列组合与统计（12 题・100 分・75 分钟）
练习卷 · 中五数学：概率、排列组合与统计全卷
中五数学练习卷，覆盖不放回抽球、骰子概率、组合计数、条件概率、平均数与标准差、常态分布标准分、期望值、二项分布、独立事件、排列及分层抽样，共 12 题 100 分，附完整答案与评分要点，适合中五校内试与 DSE 必修部分操练。
卷面资料 年级：中五（S5） ｜ 科目：数学 ｜ 时限：75 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：12
甲部：简短计算（25 分）
细阅各题，写出计算步骤及答案。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 一个袋内有 5 个红球和 3 个白球。随机抽出两个球（抽出后不放回），求两个球都是红球的概率，以最简分数及三位小数表示。 | 首个球为红球的概率为 5/8；抽出红球后袋内余 4 红 3 白，第二个球仍为红球的概率为 4/7。故所求概率 = 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14 ≈ 0.357。评分：首步 2 分、次步 2 分、化简 2 分。 |
| 2 | 同时掷两粒均匀骰子，求点数之和为 8 的概率。 | 点数和为 8 的组合有 (2,6)、(3,5)、(4,4)、(5,3)、(6,2) 共 5 个，样本空间共 36 个，故概率 = 5/36 ≈ 0.1389。评分：列组合 3 分、样本空间 2 分、答案 1 分。 |
| 3 | 从 6 位同学中选出 3 位组成委员会。(a) 共有多少种选法？(b) 若其中一位同学甲必须入选，共有多少种选法？ | (a) C(6,3) = 20 种。(b) 甲已入选，只需由余下 5 人中选 2 人，C(5,2) = 10 种。评分：(a) 4 分；(b) 3 分。 |
| 4 | 某班共有 40 名学生，其中 22 名是男生、18 名是女生；戴眼镜的学生共 20 名，其中 12 名是男生。若随机选出一名戴眼镜的学生，求该学生是男生的概率。 | 戴眼镜学生共 20 名，其中男生 12 名，故条件概率 = 12/20 = 0.6。评分：分子 3 分、分母 2 分、答案 1 分。 |
乙部：统计与期望值（30 分）
统计题须列出所用公式，答案按题目指定精度取舍。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 5 | 以下是 10 位学生某次测验的分数：4, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10。求平均数、中位数、众数及全距。 | 平均数 = 80/10 = 8.0 分；中位数 = (8+9)/2 = 8.5 分；众数 = 9 分（出现 3 次）；全距 = 10 − 4 = 6 分。评分：每项 2 分。 |
| 6 | 某数据集为 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9。求其平均数及总体标准差（答案取三位有效数字）。 | 平均数 = 40/8 = 5；离差平方和 = 9+1+1+1+0+0+4+16 = 32.0；方差 = 32.0/8 = 4；总体标准差 = 2.00。评分：平均数 2 分、离差平方和 3 分、方差 2 分、答案 1 分。 |
| 7 | 某科测验成绩呈常态分布，平均分为 65 分，标准差为 10 分。(a) 求一名学生成绩为 80 分时的标准分（z 值）。(b) 利用常态分布表估算成绩高于 80 分的学生所占百分率。 | (a) z = (80 − 65)/10 = 1.5。(b) 查表得 P(Z 小于 1.5) ≈ 0.9332，故成绩高于 80 分的比例 ≈ 1 − 0.9332 = 0.0668，即约 6.7%。评分：(a) 4 分；(b) 4 分。 |
| 8 | 某抽奖活动售出 1,000 张奖券，每张售价 5 元。1 张奖券可得 500 元，10 张奖券各得 50 元，其余奖券没有奖品。求每张奖券的期望奖金及期望净收益。 | 期望奖金 = (1×500 + 10×50)/1000 = 1,000/1,000 = 1 元；期望净收益 = 1 − 5 = -4 元，即平均每张奖券亏损 4 元。评分：期望奖金 4 分、净收益 3 分。 |
丙部：长题目（45 分）
长题目须以完整步骤或表格作答。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 9 | 某篮球员罚球命中率为 0.7，每次投篮互相独立，他共投 10 次。(a) 求恰好命中 8 次的概率。(b) 求至少命中 9 次的概率。（答案取四位小数） | (a) C(10,8) × 0.7⁸ × 0.3² = 45 × 0.05764801 × 0.09 ≈ 0.2335。(b) P(至少 9 次) = C(10,9) × 0.7⁹ × 0.3 + 0.7¹⁰ ≈ 0.1211 + 0.0282 = 0.1493。评分：(a) 6 分；(b) 6 分。 |
| 10 | 设事件 A 与 B 互相独立，已知 P(A) = 0.5、P(B) = 0.4。(a) 求 P(A ∩ B)。(b) 求 P(A ∪ B)。(c) 求 P(A | B)。(d) 解释为何 A 与 B 不可能同时互斥。 | (a) 因 A、B 独立，P(A ∩ B) = 0.5 × 0.4 = 0.2。(b) P(A ∪ B) = 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7。(c) P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0.2/0.4 = 0.5，与 P(A) 相同，符合独立定义。(d) 互斥要求 P(A ∩ B) = 0，但独立要求 P(A ∩ B) = 0.2，两者不能同时成立（除非其中一个事件概率为零）。评分：(a) 2 分；(b) 3 分；(c) 3 分；(d) 3 分。 |
| 11 | 由 5 个不同字母 A、B、C、D、E 中选出 3 个排成一个字串，字母不可重复。(a) 共有多少个不同字串？(b) 其中以 A 开头的有多少个？(c) 若只选 3 个字母组成组合，共有多少种？ | (a) P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60 个。(b) A 固定于首位，余下 4 个字母中选 2 个排列，4 × 3 = 12 个。(c) C(5,3) = 10 种组合。评分：(a) 4 分；(b) 4 分；(c) 4 分。 |
| 12 | 某校共有 1,200 名学生：中四 300 人、中五 420 人、中六 480 人。现以分层抽样抽取 120 名学生。(a) 求各级应抽取的人数。(b) 说明分层抽样在本例中比简单随机抽样优胜的一项原因。 | (a) 抽样比例 = 120/1200 = 0.1，故中四抽 30 人、中五抽 42 人、中六抽 48 人，合共 120 人。(b) 分层抽样保证样本的年级结构与全校一致，避免某级别被过度或过少代表，估计误差较小。评分：(a) 6 分；(b) 4 分。 |
TutorZone 练习卷｜题目与文章为原创，并非任何学校或出版社的教材。