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中六数学练习卷：等差数列、等比数列与求和法（100 分）
练习卷 · 数学 数列与求和
中六数学练习卷：全卷 6 题 24 部分、100 分、75 分钟，按香港中学文凭数学科必修部分编写，涵盖等差数列通项与部分和、等比数列与无限和、Σ 求和法、复利与折旧等增长模型、等差与等比中项，以及由部分和反求通项。每题附评分要点与计分方法，适合中六学生限时操卷及自我核对。
卷面资料 年级： ｜ 科目：数学 ｜ 时限：75 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：24
第一部分：等差数列的通项与部分和（17 分）
某等差数列的首项为 7，公差为 5。第 n 项 T(n) = a + (n − 1)d，首 n 项和 S(n) = n/2 [2a + (n − 1)d]。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | (a) 求该数列的第 20 项。（4 分） | 答案：T(20) = 7 + (20 − 1) × 5 = 7 + 95 = 102。评分：代入通项 2 分、计算 1 分、答案 1 分。 |
| 2 | (b) 求首 15 项之和。（4 分） | 答案：S(15) = 15/2 [2 × 7 + 14 × 5] = 15/2 × 84 = 630。评分：公式 2 分、括号内计算 1 分、答案 1 分。 |
| 3 | (c) 若某一项的值为 202，求该项的项数。（4 分） | 答案：7 + (n − 1) × 5 = 202 → (n − 1) × 5 = 195 → n − 1 = 39 → n = 40，即 202 是第 40 项。评分：列方程 2 分、解方程 1 分、答案 1 分。 |
| 4 | (d) 求最小的 n，使首 n 项之和超过 2,000。（5 分） | 答案：S(n) = n/2 [14 + 5(n − 1)] = n(5n + 9)/2。要求 n(5n + 9)/2 > 2000，即 n(5n + 9) > 4,000。当 n = 27，27 × 144 = 3,888，不足；当 n = 28，28 × 149 = 4,172，已超过。故最小 n = 28，此时 S(28) = 2,086。评分：化简 S(n) 2 分、建立不等式 1 分、试值 1 分、答案 1 分。 |
第二部分：等比数列的通项、部分和与无限和（17 分）
某等比数列的首项为 3，公比为 2。第 n 项 T(n) = a·r^(n−1)，首 n 项和 S(n) = a(r^n − 1)/(r − 1)。当 |r| 小于 1 时，无限和 S(∞) = a/(1 − r)。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 5 | (a) 求该数列的第 10 项。（4 分） | 答案：T(10) = 3 × 2^9 = 3 × 512 = 1536。评分：代入通项 2 分、指数计算 1 分、答案 1 分。 |
| 6 | (b) 求首 8 项之和。（4 分） | 答案：S(8) = 3(2^8 − 1)/(2 − 1) = 3 × 255 = 765。评分：公式 2 分、指数 1 分、答案 1 分。 |
| 7 | (c) 另一等比数列首项 48、公比 3/4，求其无限和。（4 分） | 答案：因 |3/4| 小于 1，S(∞) = 48 / (1 − 3/4) = 48 / 0.25 = 192。评分：判断收敛 1 分、公式 2 分、答案 1 分。 |
| 8 | (d) 就首项 3、公比 2 的数列，求最小的 n 使 T(n) 大于 10,000。（5 分） | 答案：3 × 2^(n−1) > 10,000 → 2^(n−1) > 3,333.3。因 2^11 = 2,048 不足而 2^12 = 4,096 足够，故 n − 1 = 12，n = 13，T(13) = 12,288。评分：不等式 2 分、比较 2 分、答案 1 分。 |
第三部分：Σ 求和法与数列求和的应用（17 分）
常用结果：Σ(k = 1 至 n) k = n(n + 1)/2；Σ(k = 1 至 n) ar^(k−1) = a(r^n − 1)/(r − 1)；首 n 个奇数之和为 n²。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 9 | (a) 求 Σ(k = 1 至 20) (3k + 2)。（4 分） | 答案：Σ(3k + 2) = 3Σk + Σ2 = 3 × (20 × 21/2) + 2 × 20 = 630 + 40 = 670。评分：拆项 1 分、Σk 1 分、常数项 1 分、答案 1 分。 |
| 10 | (b) 求 Σ(k = 1 至 12) 2^k。（4 分） | 答案：此为首项 2、公比 2、共 12 项的等比和：2(2^12 − 1)/(2 − 1) = 2 × 4,095 = 8190。评分：辨认等比 2 分、公式 1 分、答案 1 分。 |
| 11 | (c) 某等差数列首项 5、公差 6、末项 89，求项数及该数列各项之和。（4 分） | 答案：5 + (n − 1) × 6 = 89 → n − 1 = 14 → n = 15；S = 15/2 (5 + 89) = 7.5 × 94 = 705。评分：求 n 2 分、求和 1 分、答案 1 分。 |
| 12 | (d) 利用“首 n 个奇数之和为 n²”求 1 + 3 + 5 + … + 49，并说明为何此结果与等差求和公式一致。（5 分） | 答案：由 2n − 1 = 49 得 n = 25，故和为 25² = 625。以等差公式核对：首项 1、公差 2、25 项，S = 25/2 [2 + 24 × 2] = 25/2 × 50 = 625，两法一致。评分：求 n 2 分、平方结果 1 分、公式核对 2 分。 |
第四部分：复利、折旧与增长模型（17 分）
复利公式：本利和 = P(1 + r)^n。折旧（余额递减法）：价值 = P(1 − r)^n。每年定额存入 A、年利率 r、共 n 期，期末本利和 = A[(1 + r)^n − 1]/r。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 13 | (a) 甲存入 50,000 元，年利率 4%，按年复利，求 6 年后的本利和（准确至分）。（4 分） | 答案：50,000 × 1.04^6 = 50,000 × 1.265319 = 63,265.95 元。评分：公式 2 分、指数值 1 分、答案及单位 1 分。 |
| 14 | (b) 一部机器原值 200,000 元，每年按余额折旧 15%，求 4 年后的账面值。（4 分） | 答案：200,000 × 0.85^4 = 200,000 × 0.52200625 = 104,401.25 元。评分：折旧因子 2 分、指数 1 分、答案 1 分。 |
| 15 | (c) 承 (a)，求最少需要多少年，本利和才不少于 100,000 元。（4 分） | 答案：需 1.04^n ≥ 2。1.04^17 ≈ 1.948 不足，1.04^18 ≈ 2.026 足够，故最少 18 年。评分：建立不等式 2 分、试值 1 分、答案 1 分。 |
| 16 | (d) 乙每年年终存入 12,000 元，年利率 4%，连续 10 年，求 10 年后的本利和。（5 分） | 答案：本利和 = 12,000 × [(1.04^10 − 1)/0.04] = 12,000 × 12.006107 = 144,073.29 元。评分：辨认等比和 2 分、公式 2 分、答案 1 分。 |
第五部分：中项、等比中项与无限和（16 分）
若 a、b、c 成等差，则 b = (a + c)/2；若 a、b、c 成等比且同号，则 b² = ac。在两数之间插入 k 个等差中项时，公差 = (末项 − 首项)/(k + 1)。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 17 | (a) 某等差数列第 3 项为 14、第 7 项为 30，求首项与公差。（4 分） | 答案：两式相减得 4d = 16，故 d = 4；代回 a + 2d = 14 得 a = 6。评分：列两式 2 分、求 d 1 分、求 a 1 分。 |
| 18 | (b) 若 2、x、18 成等比数列且 x 为正数，求 x。（4 分） | 答案：x² = 2 × 18 = 36，x 为正故 x = 6。评分：等比中项关系 3 分、取正根 1 分。 |
| 19 | (c) 某等比数列首项 64、公比 −1/2，求其无限和。（4 分） | 答案：|−1/2| 小于 1，故 S(∞) = 64 / (1 + 1/2) = 64 × 2/3 ≈ 42.67（即 128/3）。评分：收敛判断 1 分、公式 2 分、答案 1 分。 |
| 20 | (d) 在 5 与 30 之间插入 4 个等差中项，写出该 4 个数。（4 分） | 答案：共 6 个间隔，公差 = (30 − 5)/5 = 5，故 4 个中项为 10、15、20、25。评分：求公差 2 分、列出各项 2 分。 |
第六部分：由部分和反求通项与综合应用（16 分）
若 S(n) 为首 n 项之和，则当 n ≥ 2 时 T(n) = S(n) − S(n − 1)，而 T(1) = S(1)。循环小数可视为无限等比数列之和。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 21 | (a) 某数列首 n 项和 S(n) = 3n² + 5n，求通项 T(n)、首项与公差，并判断它是否等差。（4 分） | 答案：T(n) = S(n) − S(n − 1) = 3n² + 5n − [3(n − 1)² + 5(n − 1)] = 6n + 2，故 T(1) = 8、T(2) = 14，公差 = 6，T(n) 为 n 的一次式，所以是等差数列。评分：相减 2 分、首项与公差 1 分、判断 1 分。 |
| 22 | (b) 某等比数列首 3 项之和为 26，无限和为 27，求首项 a 与公比 r。（4 分） | 答案：a/(1 − r) = 27 且 a(1 + r + r²) = 26，两式相除得 (1 − r)/(1 + r + r²) = 26/27，解得 r = 1/3，再由 a = 27(1 − r) 得 a = 18。评分：列两式 1 分、解 r 2 分、求 a 1 分。 |
| 23 | (c) 把 0.272727… （27 循环）化为最简分数。（4 分） | 答案：0.272727… = 0.27 + 0.0027 + …，首项 0.27、公比 0.01，无限和 = 0.27/(1 − 0.01) = 0.27/0.99 = 27/99 = 3/11。评分：辨认等比 1 分、求和 2 分、约简 1 分。 |
| 24 | (d) 三个数成等比数列，和为 21，积为 216，求此三数。（4 分） | 答案：设三数为 a/r、a、ar，则积 a³ = 216 得 a = 6；再由 6/r + 6 + 6r = 21 得 2r² − 5r + 2 = 0，即 r = 2 或 1/2，故三数为 3、6、12。评分：设项 1 分、求 a 1 分、解 r 1 分、答案 1 分。 |
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