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DSE 数学｜等差与等比数列求和 备课指引（导师用）｜通项、求和、应用三步走
学生记得住两条公式，但一见“第几个月开始超过”就乱。问题不在公式，在于未习惯先把题目翻译成 a、d、r、n 四个字母，再决定用哪条式。
本堂目标 学生能够：① 由题目写出首项 a、公差 d 或公比 r，并分清 n 是项数不是末项；② 用 T(n) 与 S(n) 两条公式互推，例如 a=3、d=4 时算出 T(20)=79、S(20)=820；③ 遇到“超过某数”的应用题，设不等式而不用硬试；④ 判断无穷等比何时收敛，并算出和。
01 先备知识（开课前 3 分钟快检）
以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：
| 技能 | 快检题 | 过关标准 |
|---|---|---|
| 代数运算 | 把 3+4(n−1) 化简 | 4n−1 |
| 指数律 | 3 的 6 次方是多少？ | 729 |
| 不等式 | 解 3+4(n−1) > 50 | n > 12.75 |
02 课堂流程（60 分钟）
| 时间 | 环节 | 导师做什么 | 学生做什么 |
|---|---|---|---|
| 0–8 分 | 快检三题 | 化简、指数、解不等式 | 口头答 |
| 8–20 分 | 通项与项数 | 示范由 a、d 写 T(n)，强调 n 与末项之别 | 写出三条通项 |
| 20–32 分 | 求和公式来源 | 用倒序相加推等差和，用错位相减推等比和 | 跟推一次 |
| 32–42 分 | 应用题设式 | 示范“超过”要设不等式 | 独立设式 |
| 42–55 分 | 无穷等比 | 讲收敛条件 |r|<1 与公式 | 判断三例收敛否 |
| 55–60 分 | 离场检查 | 三题快问 | 口头作答 |
03 讲解脚本（照着说就可以）
第一幕：n 是项数，不是末项
第一步永远是把题目翻译成四个字母。首项 a 是第一项的数值，公差 d 是后项减前项，项数 n 是“有几个项”，不是最后一项的数值。示范：a=3、d=4 的第 20 项是 T(20)=3+(20−1)×4=79，这里 20 是项数，79 才是数值。很多学生把“第 20 项”写成 n=79，就是把项数与数值混淆。练习时要求每题先写“a=…, d=…, n=…”一行，才准动笔计。
叫学生口头讲出“n 是项数”，讲错即重新标一次。
第二幕：两条求和公式亲手推一次
等差求和用倒序相加：S=3+(3+4)+…+79，倒过来写一次，两式相加每对都是 3+79=82，共有 20 对，所以 S=20×82/2=820。等比求和用错位相减：S 乘 r 再减 S，中间项全部消掉，剩下 a(r^n−1)/(r−1)。亲手推一次的好处是：忘记公式时可以即场重建，而且知道公式在 r=1 时不适用，因为分母会变零，r=1 要直接写 na。
要求学生推完之后，自己讲出 r=1 为何要另外处理。
第三幕：应用题：由“第几项”变成“不等式”
题目说“第几个月起总数超过 1,500”，就要设 S(n)>1500 而不是逐个月加。以 a=3、d=4 为例，S(n)=20×… 的解是 n 的二次不等式，解出下限再向上取整，因为 n 必须是整数。无穷等比则先看 |r|<1：a=8、r=1/2 时和是 16，若 |r|≥1 就发散，不可用公式。答题时写一句收敛条件，通常就是那一分。
故意给一题 r=2 的无穷等比，看学生会不会照代公式。
04 必教题型与步骤
| 题型 | 例子 | 步骤 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 通项 | 求第 n 项 | 写 a、d 或 r，代 T(n) | T(20)=79 |
| 有限和 | 求前 n 项和 | 数清项数，代 S(n) | S(20)=820 |
| 应用 | 第几项起超过某值 | 设不等式，解完向上取整 | n 为整数 |
| 无穷和 | 无穷等比收敛 | 先验 |r|<1，再代 a/(1−r) | 8、1/2 得 16 |
合理性检查（一定要教）：数要对得上：a=3、d=4、n=20 时，T(20)=3+19×4=79，S(20)=20×(3+79)/2=820。等比 a=2、r=3、n=6：T(6)=2×3^5=486，S(6)=2(3^6−1)/(3−1)=728。无穷等比 a=8、r=1/2 的和是 8/(1−1/2)=16。检查法：把算出的 S(n) 减 S(n−1)，应该刚好等于 T(n)，不等就是项数用错。
05 独立练习三题
| 题目 | 答案 | 想观察什么 |
|---|---|---|
| a=3、d=4，求 T(20) 与 S(20) | 79 与 820 | 有无先写 a、d、n |
| 等比 2、3、9…，求 S(6) | 728 | 项数是否 6 项 |
| a=5、r=2 的无穷等比可否求和？ | 不可，|r|≥1 发散 | 有无讲收敛条件 |
06 学生常见错误与纠正句
| 错误 | 学生通常这样写 | 导师这样说 |
|---|---|---|
| 把项数当末项 | 第 20 项所以 n=79 | “n 系项数，20 就系 n。79 系 T(20)，不系 n。” |
| 等比用错项数 | S6 只加 5 项 | “由第一项数到第六项系 6 项，不系 6−1。” |
| 无穷等比不看 r | r=2 都照代 a/(1−r) | “分母会变负数，呢条式只适用于 |r|<1。” |
| 应用题硬试 | 逐个月加直到超过 | “设 S(n) 不等式，解完向上取整，快十倍又不会漏。” |
07 家课建议（直接指到练习卷题号）
08 离场检查（最后 5 分钟）
| 题目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| T(20) 与 S(20) | 79 与 820 | 错即重写 a、d |
| 无穷等比条件 | |r|<1 | 讲不出即重教第三幕 |
| 应用题第一步 | 设不等式 | 硬试即重练 |
09 导师常问
公式要背吗？
要，但更要推得返，因为忘记时可以即场重建。
n 可以是 0 吗？
数列的项由第 1 项起，n 是正整数，应用题的解要向上取整。
等比 r 可以负数吗？
可以，和式一样成立，只是项会正负交替。
本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。