中六物理练习卷：万有引力与卫星运动（12 题・100 分・75 分钟）

2026-11-09

练习卷 · DSE 物理：万有引力与卫星运动全卷

中六物理练习卷，全卷 12 题共 100 分、限时 75 分钟，涵盖万有引力定律、重力场、圆轨道速率与周期、地球同步卫星、轨道转移的能量、双星系统、由卫星数据推算行星质量，以及逃逸速度与失重现象，附完整答案及评分要点。

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卷面资料　年级：中六（S6）　｜　科目：物理　｜　时限：75 分钟　｜　总分：100 分　｜　题数：12

考生须知：本卷分甲、乙、丙三部，全部题目均须作答，总分 100 分，时限 75 分钟。

作答时须写出所用公式、代入的数值及单位，并以三位有效数字表示数值答案。

解释题须指出所依据的物理定律，例如万有引力定律或能量守恒。

建议用 20 分钟完成甲部，30 分钟处理乙部，最后 25 分钟复核丙部及检查单位。

甲部（多项短答，29 分）

全部题目均须作答，须列出所用公式及代入的数值。

#	题目	答案与评分要点
1	地球质量 5.97 × 10²⁴ kg、半径 6.37 × 10⁶ m，重力常数 G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²。(a) 求地球表面重力加速度 g₀。(b) 求距地面 1.0 × 10⁷ m 处的重力加速度。(c) 求 g₀ 与 (b) 之比。	(a) g₀ = GM/R² = (6.67×10⁻¹¹)(5.97×10²⁴)/(6.37×10⁶)² = 9.81 m s⁻²（2 分） (b) r = R + h = 1.637 × 10⁷ m，g = GM/r² = 1.49 m s⁻²（2 分） (c) 比值 = 9.81/1.49 = 6.60（2 分）评分要点：必须用 r = R + h；只代 R 得 1 分。
2	月球绕地球运行的轨道半径约 3.84 × 10⁸ m。(a) 以圆周运动模型求月球的公转周期（以日为单位）。(b) 说明为何月球不会掉到地球上。(c) 若月球质量加倍而轨道半径不变，周期会否改变？解释。	(a) GMm/r² = m(4π²r/T²) ⇒ T = 2π√(r³/GM) = 2369336 s = 27.4 日（3 分） (b) 月球有足够切向速度，其“下落”量刚好等于地球表面弯曲的程度，故一直绕行（2 分） (c) 周期不变（1 分）：T 只取决于中心天体质量与轨道半径，与卫星自身质量无关（1 分）
3	一枚人造卫星在离地 400 km 的圆轨道运行，地球半径取 6.37 × 10⁶ m。(a) 求其轨道半径。(b) 求其速率。(c) 求其周期（以分钟为单位）。(d) 若卫星质量加倍，速率如何改变？	(a) r = 6.37×10⁶ + 4.0×10⁵ = 6.77 × 10⁶ m（1 分） (b) v = √(GM/r) = 7669 m s⁻¹（3 分） (c) T = 2πr/v = 5546 s = 92.4 分钟（3 分） (d) 不变（1 分）：m 在方程两边相消。
4	(a) 由能量守恒推导地球表面的逃逸速度 v = √(2GM/R)。(b) 代入数据求数值（km s⁻¹）。(c) 解释为何逃逸速度与抛体质量无关。	(a) ½mv² − GMm/R = 0（1 分）⇒ v = √(2GM/R)（2 分） (b) v = √(2(6.67×10⁻¹¹)(5.97×10²⁴)/6.37×10⁶) = 11181 m s⁻¹ = 11.18 km s⁻¹（3 分） (c) 动能与位能都正比于 m，m 在能量方程中相消，故与质量无关（2 分）评分要点：只写答案无推导最多 4 分。

乙部（计算与解释，33 分）

重力常数 G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²，地球质量 5.97 × 10²⁴ kg，地球半径 6.37 × 10⁶ m。

#	题目	答案与评分要点
5	火星质量 6.42 × 10²³ kg、半径 3.39 × 10⁶ m。(a) 求火星表面重力加速度。(b) 比较火星与地球表面的 g 值，并解释差异的两个原因。(c) 一个在地球重 600 N 的仪器在火星表面重多少？	(a) g = GM/R² = (6.67×10⁻¹¹)(6.42×10²³)/(3.39×10⁶)² = 3.73 m s⁻²（3 分） (b) 火星 g 较小（1 分）：火星质量约为地球的 0.107 倍，而半径约为 0.532 倍；g ∝ M/R²，质量因素影响较大（2 分） (c) 质量 = 600/9.81 = 61.2 kg，火星上重量 = 61.2 × 3.73 = 228 N（2 分）
6	地球同步卫星的周期等于地球自转周期 86 164 s。(a) 求其轨道半径。(b) 求其离地高度。(c) 说明为何同步卫星必须位于赤道上方。	(a) r = (GMT²/4π²)^(1/3) = 4.21 × 10⁷ m（3 分） (b) 高度 = r − R = 3.58 × 10⁷ m ≈ 3.58 × 10⁷ m（2 分） (c) 只有赤道平面上的轨道，卫星的向心加速度才与地心引力方向共线；否则引力有指向赤道方向的分量，轨道会漂移（3 分）评分要点：(c) 只答“要对准地面”不给分。
7	质量 1200 kg 的卫星由 400 km 圆轨道转移到地球同步轨道（半径 4.22 × 10⁷ m）。(a) 写出圆轨道总机械能的表达式。(b) 求每千克所需的能量。(c) 求该卫星所需的总能量。(d) 这些能量从何而来？	(a) E = −GMm/2r（2 分） (b) ΔE/m = (GM/2)(1/r₁ − 1/r₂) = 2.47 × 10⁷ J kg⁻¹（3 分） (c) ΔE = 1200 × 2.47×10⁷ = 2.96 × 10¹⁰ J（2 分） (d) 由星上推进器燃烧化学燃料提供，能量来自燃料的化学能（2 分）评分要点：(a) 漏负号不扣分；用 GMm(1/r₁ − 1/r₂) 当成总能量扣 1 分。
8	双星系统由两颗质量均为 1.5 M☉（M☉ = 1.99 × 10³⁰ kg）的恒星组成，两星相距 2.0 × 10¹¹ m，绕共同质心作圆周运动。(a) 求每颗星的轨道半径。(b) 求其速率。(c) 求公转周期（以日为单位）。(d) 若两星质量不同，质心位置如何改变？	(a) 每颗星轨道半径 = a/2 = 1.0 × 10¹¹ m（2 分） (b) Gm²/a² = mv²/(a/2) ⇒ v = √(Gm/2a) = 2.23 × 10⁴ m s⁻¹（3 分） (c) T = 2π(a/2)/v = 28169811 s = 326 日（3 分） (d) 质心靠近质量较大的一方，两星轨道半径之比等于质量之反比（1 分）

丙部（综合与应用，38 分）

数值答案须准确至三位有效数字；解释题须指出所依据的物理定律。

#	题目	答案与评分要点
9	下表为某行星一颗卫星的观测数据：轨道半径 r = 7.00 × 10⁶ m，周期 T = 5.82 × 10³ s。(a) 由 r 与 T 求行星质量。(b) 写出所用的公式并说明为何不需要卫星质量。(c) 若测得的 T 偏小 2%，对质量的计算有何影响？	(a) GM = 4π²r³/T² = 3.98 × 10¹⁴ m³ s⁻² ⇒ M = 5.99 × 10²⁴ kg（3 分） (b) 公式 T² = 4π²r³/(GM)（1 分）；卫星质量在方程两边相消，只充当“探测器”（2 分） (c) T 偏小 2% ⇒ T² 偏小约 4% ⇒ 算出的 M 偏大 4%（3 分）评分要点：(c) 只写“偏大”不给分，要有 4% 这个量。
10	地球自转周期 86 164 s。(a) 求赤道处因自转所需的向心加速度。(b) 求赤道处的有效 g 值。(c) 解释为何赤道处的 g 比极地小。(d) 在轨道上的太空人为何感到“失重”？	(a) a = ω²R = (2π/86164)²(6.37×10⁶) = 0.034 m s⁻²（3 分） (b) g_eff = 9.81 − 0.034 = 9.78 m s⁻²（2 分） (c) 赤道处自转半径最大、向心加速度最大，且地球为扁球体使极地半径较小、g ∝ 1/R² 较大（2 分） (d) 太空人与太空船同以重力加速度自由下落，座椅对人无支持力，视重为零（2 分）
11	一枚卫星在 400 km 圆轨道（v = 7.67 km s⁻¹）运行，现要脱离地球引力。(a) 求该高度的逃逸速度。(b) 求所需的速度增量。(c) 为何不在地面一次过加速到 11.2 km s⁻¹ 更省能量？以能量角度解释。	(a) v_esc = √2 × v = 1.414 × 7.67 = 10.85 km s⁻¹（3 分） (b) Δv = 10.85 − 7.67 = 3.18 km s⁻¹（3 分） (c) 在地面加速要同时克服整段引力位能，且大气阻力大；先在轨道加速只需补足由该处逃逸的位能差，能量需求较小（4 分）评分要点：(c) 必须提及大气阻力或位能差其一，两者齐全给满分。
12	某行星表面 g = 3.73 m s⁻²，半径 3.39 × 10⁶ m。(a) 求其平均密度。(b) 若某天体半径相同但密度加倍，表面 g 如何改变？(c) 一个单摆在该行星上的周期与在地球上相比如何？(d) 提出一个由观测验证密度的可行方法。	(a) g = GM/R² ⇒ M = gR²/G；ρ = M/(4πR³/3) = 3g/(4πGR) = 3934 kg m⁻³（4 分） (b) ρ 加倍 ⇒ M 加倍 ⇒ g 加倍 = 7.45 m s⁻²（2 分） (c) T = 2π√(L/g)，g 较小 ⇒ 周期较长，比值 √(9.81/3.73) = 1.62 倍（2 分） (d) 发射探测器测量环绕该行星的卫星轨道半径与周期，由 T² = 4π²r³/(GM) 求 M，再配合半径求密度（2 分）

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