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IB 数学：概率与期望值（进阶 10 题）
IB 数学：概率与期望值（进阶 10 题）
进阶卷集中期望值与独立事件：以概率分布表计 E(X)，用独立性求交集与联集，条件概率 P(A|B)，排列中的相邻问题，以及二项分布的组合计数。每题附答案与一句解说。
快速答案 答案依序：2.1、7、$15、0.7、9/25、0.3、1/3、3.5、5/16、0.5。独立事件才可直接相乘，否则要先用条件概率。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 题 |
| 建议时间 | 约 35 分钟 |
| 难度分布 | 进阶 10 |
| 对应章节 | 所属章节：IB 数学：概率与期望值 |
| 适用年级 | IB |
02 题目（10 题）
- 进阶随机变量 X 取值 1、2、3，概率分别为 0.2、0.5、0.3，求 E(X)。
- 进阶同时掷两粒公平骰子，点数和 S 的期望值是多少？
- 进阶某游戏：赢 $50 的概率 0.2、赢 $10 的概率 0.5，其余只得 $0，求期望奖金。
- 进阶A 与 B 互相独立，P(A) = 0.4、P(B) = 0.5，求 P(A ∪ B)。
- 进阶袋有 3 红 2 蓝，每次抽后放回，连抽两次都是红的概率是多少？
- 进阶已知 P(A ∩ B) = 0.15、P(B) = 0.5，求 P(A | B)。
- 进阶六名学生随机排成一列，指定其中两人相邻的概率是多少？
- 进阶掷一粒公平骰子一次，点数的期望值是多少？
- 进阶掷一枚公平硬币 5 次，恰好出现 2 次正面的概率是多少？
- 进阶X 只取值 3 和 7，且 E(X) = 5，求 P(X = 7)。
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 2.1 | E(X) = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1。 |
| 2 | 7 | 每粒骰的期望值是 3.5，两粒相加得 3.5 + 3.5 = 7。 |
| 3 | $15 | 50(0.2) + 10(0.5) + 0(0.3) = 10 + 5 = $15。 |
| 4 | 0.7 | 独立时 P(A ∩ B) = 0.4 × 0.5 = 0.2，所以 P(A ∪ B) = 0.4 + 0.5 − 0.2 = 0.7。 |
| 5 | 9/25 | 每次红的概率 3/5，两次独立相乘得 9/25 = 0.36。 |
| 6 | 0.3 | 条件概率公式：P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.15 / 0.5 = 0.3。 |
| 7 | 1/3 | 把两人绑成一组：2 × 5! = 240 个排法，除以 6! = 720，得 1/3。 |
| 8 | 3.5 | (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21/6 = 3.5。 |
| 9 | 5/16 | C(5, 2) = 10 个组合，除以 2⁵ = 32，得 10/32 = 5/16。 |
| 10 | 0.5 | 设 P(X = 7) = p：3(1 − p) + 7p = 5，即 4p = 2，所以 p = 0.5。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。