IB 數學 AA｜概率與期望值備課指引（導師用）｜獨立事件、條件概率與變異數

2026-11-05

學生識講「獨立就乘」，但一見到「已知 B 發生」就照樣乘。這一堂用同一個 0.21 拆開三種問法。

本堂目標　學生能夠：① 判斷何時可以直接相乘；② 用 P(A∩B) ÷ P(B) 計條件概率；③ 由概率表算期望值與變異數。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
小數乘法	0.4 × 0.7 是多少	0.28
分數化小數	21 ÷ 70 是多少	0.3
平均數	0、1、2、3 的平均	1.5

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–8 分	三種問法	同時、已知、期望	講出三者的分別
8–20 分	獨立事件	P(A) = 0.4、P(B) = 0.7	算出 0.28
20–34 分	條件概率	已知 P(A∩B) = 0.21、P(B) = 0.7	算出 0.3
34–48 分	期望值	0.2、0.3、0.4、0.1 配 0–3	算出 1.4
48–56 分	變異數	E(X²) − E(X)²	算出 0.84
56–60 分	離場檢查	三題收回即批	獨立完成

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：獨立才乘：先證明獨立，再乘

若 A 與 B 獨立，P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0.4 × 0.7 = 0.28。
反過來，題目給你 P(A∩B) = 0.21 而 P(A)P(B) = 0.28，兩個不等，就證明 A、B 不獨立。

要學生判斷：0.21 同 0.28 相差的意義是什麼（兩件事有關聯）。

第二幕：條件概率：分母換成已知事件

P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B) = 0.21 ÷ 0.7 = 0.3。
最常見的錯是寫成 0.21 ÷ 0.4；分母一定是「已知發生」的那件事，不是被問的那件。

要學生複述：為什麼分母是 0.7。

第三幕：期望與變異數：一張表做完兩個數

E(X) = 0×0.2 + 1×0.3 + 2×0.4 + 3×0.1 = 1.4。
E(X²) = 0×0.2 + 1×0.3 + 4×0.4 + 9×0.1 = 2.8，所以 Var = 2.8 − 1.4² = 0.84。

提醒：Var 不是 E(X²)，一定要減去期望值的平方。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
獨立事件	P(A) 0.4、P(B) 0.7	直接相乘	0.28
條件概率	P(A∩B) 0.21、P(B) 0.7	交集除已知事件	0.3
期望值	概率表 0–3	Σ x·P(x)	1.4
變異數	E(X²) 2.8、E(X) 1.4	E(X²) − E(X)²	0.84

合理性檢查（一定要教）：所有概率相加一定是 1（本題 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.1 = 1）；若相加不等於 1，表就有漏項，期望值一定錯。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
獨立事件的交集概率	0.28	有沒有先確認獨立
P(A\|B) 的值	0.3	分母是 0.7 而非 0.4
期望值與變異數	E = 1.4、Var = 0.84	Var 有沒有減 E(X)²

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
條件概率分母用錯	算出 0.525	「分母係已知發生嘅事件，即 P(B)。」
把不獨立當獨立乘	直接寫 0.28	「題目已給 0.21，乘出嚟嘅 0.28 就係錯。」
變異數忘記減平方	答 Var = 2.8	「Var = E(X²) − E(X)²，要減。」
概率和不等於 1	表加起來 0.9	「四個概率加起一定要係 1，唔係就漏項。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

IB 數學章節索引　本頁三題作課後練習

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
P(A∩B)（獨立）	0.28	三題全對＝可進正態分佈
P(A\|B)	0.3	錯一題＝下堂前重講條件概率
E(X) 與 Var	E = 1.4、Var = 0.84	錯兩題以上＝回到第三幕

09　導師常問

公式手冊有概率公式嗎？

部分有，但條件概率的定義要自己寫得出。

Var 與標準差分別？

標準差是變異數開方，單位與原本數據一致。

要背概率表嗎？

不用，但要把 ΣP(x) = 1 當檢查步驟。

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本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。