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IB 数学：概率与期望值（挑战 10 题）
IB 数学：概率与期望值（挑战 10 题）
挑战卷处理不放回抽样、几何概率、期望净收益、二项分布的标准差、E(X²) 与生日问题。十题全部要求写出完整推理，其中多题要用余事件的 1 减法或 Var(X) = E(X²) − [E(X)]²。
快速答案 答案依序：5/14、5/8、23/28、0.2826、−$4、E=6 且 SD≈2.05、0.6、329/6≈54.83、17/72≈0.236、选 B 多 $4。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 题 |
| 建议时间 | 约 45 分钟 |
| 难度分布 | 挑战 10 |
| 对应章节 | 所属章节：IB 数学：概率与期望值 |
| 适用年级 | IB |
02 题目（10 题）
- 挑战袋有 5 红 3 白，不放回连抽两粒，两粒都是红的概率是多少？
- 挑战同一袋（5 红 3 白）不放回抽两粒，第二粒是红的概率是多少？
- 挑战同一袋不放回连抽三粒，至少有一粒白的概率是多少？
- 挑战在边长 10 cm 的正方形内随机取一点，落在半径 3 cm 的圆内的概率是多少？（取 π = 3.14）
- 挑战抽奖每次入场费 $8，中奖概率 1/50，奖金 $200，求每次的期望净收益。
- 挑战X ~ B(20, 0.3)，求 E(X) 与标准差（取 2 位小数）。
- 挑战A 与 B 独立，P(A) = 0.5、P(A ∪ B) = 0.8，求 P(B)。
- 挑战X 为两粒公平骰子的点数和，求 E(X²)。
- 挑战随机选 3 人，至少两人同一月份出生的概率是多少？（假设 12 个月等可能）
- 挑战方案 A 必得 $20；方案 B 有 0.3 概率得 $80、否则得 $0。按期望值应选哪个？相差多少？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 5/14 | (5/8) × (4/7) = 20/56 = 5/14，第二粒的分母要减 1。 |
| 2 | 5/8 | 由对称性，第二粒的边际概率与第一粒相同，都是 5/8，不必分情况。 |
| 3 | 23/28 | 先求全红：(5/8)(4/7)(3/6) = 5/28，再用 1 − 5/28 = 23/28。 |
| 4 | 0.2826 | 圆面积 9 × 3.14 = 28.26 cm²，除以正方形 100 cm² 得 0.2826。 |
| 5 | −$4 | 期望奖金 200 × 1/50 = $4，减去入场费 $8 得 −$4。 |
| 6 | E(X) = 6，SD ≈ 2.05 | E = np = 6，Var = np(1 − p) = 4.2，SD = √4.2 ≈ 2.05。 |
| 7 | 0.6 | 独立时 0.5 + q − 0.5q = 0.8，即 0.5q = 0.3，所以 q = 0.6。 |
| 8 | 329/6 ≈ 54.83 | Var(X) = 2 × 35/12 = 35/6，E(X²) = Var + [E(X)]² = 35/6 + 49 = 329/6。 |
| 9 | 17/72 ≈ 0.236 | 全不同 = (12 × 11 × 10) / 12³ = 1320/1728，1 − 1320/1728 = 17/72。 |
| 10 | 选 B，期望多 $4 | B 的期望值 0.3 × 80 = $24，比 A 的 $20 多 $4。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。