IB 数学 AA｜数列与级数备课指引（导师用）｜等差通项、等比公比与无穷和

2026-11-05

数列题 IB 只考三件事：认出是等差还是等比、写对项数、用对公式。这一堂把三件事绑在同一条题目上。

本堂目标　学生能够：① 由首两项判断等差或等比并写出通项；② 用 n/2 ×（首项加末项）算等差和；③ 讲出无穷和只在公比绝对值小于 1 时存在。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
代入	u_n = 5 + 3(n − 1)，u₁₀ 是多少	32
百分数	由 80 加到 100，加了多少百分比	25%
绝对值	r = −0.5 时，r 的绝对值大于 1 吗	不是，是 0.5

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–8 分	认型	写两条数列在白板	讲出各自公差／公比
8–20 分	等差通项与求和	u_n = a + (n − 1)d 推 S_n	算出 u₁₀ = 32、S₁₀ = 185
20–32 分	等比与公比	用除法找 r，不用减法	算出 u₆ = 486、S₆ = 728
32–44 分	无穷和	画收敛与发散的对照	算出 S∞ = 16
44–54 分	IB 答题格式	先写公式再代入	改写一条答案
54–60 分	离场检查	三题收回即批	独立完成

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：等差：先写通项，再求和

数列 5, 8, 11, 14 … 的公差 d = 3，所以 u_n = 5 + 3(n − 1)，第 10 项 u₁₀ = 5 + 27 = 32。
求和不要逐项加：S_n = n/2 ×（首项加末项），S₁₀ = 10/2 × (5 + 32) = 5 × 37 = 185。写法上先写公式那一行，IB 的方法分就在那里。

要学生复述：为何以 5 加 27 而不是加 30。

第二幕：等比：公比一定用除

数列 2, 6, 18, 54 … 的公比 r = 6 ÷ 2 = 3，不是 6 − 2 = 4。所以 u_n = 2 × 3^(n−1)，u₆ = 2 × 3⁵ = 486。
等比和 S_n = a(rⁿ − 1)/(r − 1)，S₆ = 2(3⁶ − 1)/2 = 729 − 1 = 728，可以用逐项加（2+6+18+54+162+486）核对。
最常见误解：学生见到数字递增就用等差公式，全部错。先做一次除法再决定。

要学生复述：公比是“后项除前项”，不是相减。

第三幕：无穷和：条件先写出来

8 + 4 + 2 + 1 … 公比 r = 0.5，绝对值小于 1，级数收敛，S∞ = a/(1 − r) = 8/(1 − 0.5) = 16。
同一条公式用在 r = 2 就完全错：2 + 4 + 8 … 越加越大，没有和。所以答题第一句一定是“因为 r 的绝对值小于 1，所以收敛”。

要学生复述：收敛条件是什么，讲不出就不准用公式。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
等差求通项	5, 8, 11 …，求 u₁₀	找 d，代 u_n = a + (n−1)d	32
等差求和	同上，求 S₁₀	S_n = n/2 ×（首项加末项）	185
等比求和	2, 6, 18 … 求 S₆	先求 r = 3，再代等比和公式	728
无穷和	8 + 4 + 2 + … 求 S∞	验 r 的绝对值小于 1，再代 a/(1−r)	16

合理性检查（一定要教）：① 等差和一定等于“项数 × 首末平均”，S₁₀ = 10 × 18.5 = 185，对得上；② 等比数列每项除以 3 退回前一项；③ 无穷和不会大过首项除以（1 − r），16 小于 8 的两倍，合理。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
u_n = 4 + 6(n − 1)，求 u₈ 与 S₈	u₈ = 46；S₈ = 200	学生有无先写公式再代入
3, 9, 27 … 求 u₅ 与 S₅	u₅ = 243；S₅ = 363	公比是用除不是用减
12 + 6 + 3 + … 求 S∞	24	有无先讲收敛条件

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
把等比当等差	d = 6 − 2 = 4，u₆ = 2 + 5×4 = 22	“见到数字变大不代表加同一个数，先用后项除前项试一次。”
求和漏了除以 2	S₁₀ = 10 × (5 + 32) = 370	“n 只是一半，10 项的平均是首末相加再除二。”
项数数错	由第 1 项到第 10 项当成 9 项	“n − 1 系间隔数，项数系 10，不好两样混。”
无穷和乱用	r = 2 都代 a/(1 − r)	“r 大过 1 就发散，公式不存在，先写条件。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

IB 数学章节索引　用索引内三条练习作课后核对

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
5, 9, 13 … 求 u₁₂	49	错一题＝下堂重讲通项
2, 10, 50 … 求 u₄	250	错一题＝重讲公比用除
20 + 10 + 5 + … 求 S∞	40	错两题以上＝回到第三幕

09　导师常问

SL 与 HL 都考数列？

两者都考，HL 多了数学归纳法与更深的求和技巧，这一堂的基础两边共用。

公式表有提供吗？

IB 的公式小册子有等比与等差公式，但条件（r 的绝对值小于 1）要自己写，写漏会失分。

要背到第几项？

不用背项数，练到由首两项即刻写出通项就够。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。