中二数学｜频数分布表与直方图备课指引（导师用）

中二数学｜频数分布表与直方图备课指引（导师用）｜组界、组中点、频数密度

2026-11-13

学生把直方图当成棒形图画，柱与柱之间留空隙，又以为最高的柱一定代表最大密度。这一堂用 40 个分数与一组宽度不一的区间，把“面积等于频数”讲清楚。

本堂目标　学生能够：① 为 40 个分数建立五组频数表（50–59 有 4 人、60–69 有 9 人、70–79 有 14 人、80–89 有 9 人、90–99 有 4 人），讲出组界是 49.5 至 99.5、组中点是 54.5 至 94.5；② 用组中点估算平均数：(54.5×4 + 64.5×9 + 74.5×14 + 84.5×9 + 94.5×4) ÷ 40 = 2,980 ÷ 40 = 74.5，并指出众数组与中位数组同为 70–79；③ 在组宽不同时改用频数密度（0–10 为 0.6、10–20 为 1.5、20–40 为 1.5、40–60 为 0.5），并讲出直方图每条柱的面积等于该组频数。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
平均数	(10 + 20 + 30) 除以 3 等于几多？	答得出 20，答错就代表加总与除数概念未稳
小数加减	54.5 乘 4 等于几多？	答得出 218，这是估算平均数的每一步
除数与小数	12 除以 4 等于几多？6 除以 10 呢？	答得出 3 与 0.6，后者是频数密度的入门

02　课堂流程（45 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–5 分	数据开场	把 40 个分数写成一行，问“这样看得到什么”	讲出自己看到的两件事，写在白纸上
5–13 分	分组与组界	示范由 50 到 99 分五组，标出 49.5、59.5 等组界	自己写出五组、五个组界、五个组中点
13–22 分	频数表与平均数	示范组中点乘频数再加总除以 40	算出总和 2,980、平均 74.5，并圈出众数组
22–31 分	直方图怎么画	画五条相连的柱，强调连续数据柱与柱之间不留空隙	画一次并在 x 轴写上组界，不是组中点
31–40 分	组宽不同用密度	用 0–10、10–20、20–40、40–60 四组示范频数密度	算出 0.6、1.5、1.5、0.5，并讲出为何最高的柱不代表最多人
40–45 分	离场检查	收三条答案，即场标正确／半对／错	交出三条答案并讲一句理由

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：第一幕：分组是为了看得见，不是为了好看

“40 个分数摊开，你只看到一堆数字。分组之后，你讲得出大多数人考几多。分五组：50 至 59、60 至 69、70 至 79、80 至 89、90 至 99。注意组界：50 至 59 的真正上下限是 49.5 与 59.5，因为分数可以有小数。组中点就是两个组界的平均：(49.5 加 59.5) 除 2 等于 54.5。五个组中点就是 54.5、64.5、74.5、84.5、94.5。”

要学生复述：组界是边界，组中点是两个组界的平均。

第二幕：第二幕：估算平均数要靠组中点

“真实数据老师有，但你手上只有频数表，所以我们用组中点代表整组。54.5 乘 4 得 218，64.5 乘 9 得 580.5，74.5 乘 14 得 1,043，84.5 乘 9 得 760.5，94.5 乘 4 得 378。加起来 2,980，除 40 得 74.5。这个数字叫估算平均数，因为我们假设同组每个人都在组中点。中位数呢？40 人，第 20 与 21 个都在 70 至 79 这一组，累积频数是 4、13、27，所以中位数组是 70 至 79，同众数组一样。”

要学生复述：估算平均数用组中点乘频数，中位数看累积频数。

第三幕：第三幕：柱的面积才是频数

“如果四组的宽度不同：0 至 10 有 6 个、10 至 20 有 15 个、20 至 40 有 30 个、40 至 60 有 10 个。你不可以直接比高度，因为 20 至 40 这一组阔 20，其他只阔 10。要计频数密度：频数除组宽。6 除 10 得 0.6，15 除 10 得 1.5，30 除 20 得 1.5，10 除 20 得 0.5。画出来 10 至 20 与 20 至 40 一样高，但你看面积：1.5 乘 10 得 15，1.5 乘 20 得 30，面积才等于频数。所以最高的柱不一定代表最多人。”

要学生复述：频数密度乘组宽等于频数，面积才可比。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
建频数表	把 40 个分数分成五组，写出组界、组中点与频数。	① 定组数与组宽 ② 写组界（减 0.5）③ 数频数 ④ 计组中点 ⑤ 核对总频数等于 40	五组频数 4、9、14、9、4；组界 49.5–99.5；组中点 54.5–94.5。
估算平均数	用上表估算平均数。	① 组中点乘频数 ② 逐组列出 ③ 加总 ④ 除以总频数 ⑤ 检查答案是否落在数据范围内	2,980 ÷ 40 = 74.5。
画直方图	把频数表画成直方图，说明 x 轴要写什么。	① x 轴写组界 ② y 轴写频数 ③ 柱与柱相连 ④ 标题与单位	x 轴标 49.5、59.5、69.5、79.5、89.5、99.5，柱相连无空隙。
频数密度	四组宽度不同（10、10、20、20），频数 6、15、30、10，求各组频数密度。	① 逐组频数除组宽 ② 比较密度而非频数 ③ 用面积回算频数验证	0.6、1.5、1.5、0.5；面积 6、15、30、10 与频数相符。

合理性检查（一定要教）：合理性检查：五组频数加起来一定要等于总人数 40，加不到就是漏数或重复数；估算平均数必须落在数据范围内，本题 74.5 在 50 至 99 之间且在众数组内，答 7.45 就是小数点错；组界一定要比组限各多半个单位（50 至 59 的组界是 49.5 与 59.5）；频数密度乘组宽要回得频数，30 除 20 得 1.5 而面积 1.5 乘 20 得 30，回不到就是除错；连续数据的直方图柱与柱相连，留空隙就是画成棒形图。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
20 个数据分成 0–5（3 个）、5–10（7 个）、10–20（10 个），求各组频数密度。	0.6、1.4、1.0。	有没有用频数除组宽，第三组有没有用 10 做除数
用上题估算平均数。	(2.5×3 + 7.5×7 + 15×10) ÷ 20 = 210 ÷ 20 = 10.5。	有没有用组中点而不是组限，总和是否 210
上题中频数最高与频数密度最高的组是否同一组？	不是：频数最高是 10–20（10 个），密度最高是 5–10（1.4）。	有没有分清楚频数与密度两个概念

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
直方图留空隙	“我照棒形图这么画，柱与柱之间留一格。”	“直方图画的是连续数据，分数可以由 59.4 跳到 59.6，中间没有空隙，所以柱要相连。留空隙就是棒形图，阅卷员会当你未分清楚。”
用组限做平均数	“50 乘 4 加 60 乘 9，再除 40。”	“要用人一组的代表值，即组中点 54.5。用 50 会低估，因为 59 分的人都当成 50 分。”
直接比柱高	“20 至 40 那条柱最高，所以最多人。”	“20 至 40 阔 20，其他阔 10。你要先除组宽得密度，再乘回去看面积。面积 30 才是真正的人数。”
频数加总不符	“4 加 9 加 14 加 9 加 4，大约 40。”	“不可以写大约。频数加总一定要等于 40，加不到就代表有数据漏了或者重复数了，要重数一次。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

数学科目索引：重做本章独立练习第 1 至 3 题，并把第 1 题的直方图画在格纸上　本章独立练习第 1–3 题
数学科目索引：自选一组 20 个数据（例如家中各人每日睡眠小时），造频数表、画直方图、估算平均数　本章第五节频数密度第 1 题

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
60 至 69 这一组的组界与组中点是几多？	组界 59.5 与 69.5，组中点 64.5。	答 60 与 69 即未掌握组界要减加 0.5
某组频数 12、组宽 4，频数密度是几多？	3。	答 48 即用了乘而不是除
直方图与棒形图最大分别是什么？	直方图画连续数据、柱相连、x 轴是组界；棒形图画分类数据、柱有间隙。	只答“一个有颜色”即未掌握数据类型

09　导师常问

这一章适合哪个年级？

中二。中四的统计单元会用同一套组界与密度概念计标准差，中六的直方图与概率估算亦由此延伸。

45 分钟够不够讲三幕？

够。第一、二幕各约 8 分钟，第三幕最重要，留 9 分钟；画图只示范一次，密度题要即场做一题。

有无配套练习？

有。数学科目索引页连本章练习与答案，可接“百分数与比例”章做数据比较的应用题。

立即免费找导师导师登记 →

本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。