中三数学｜一元一次不等式与不等式组：反方向与整数解备课指引（导师用）

2026-11-15

学生解方程很顺，一遇到不等号就照样移项，遇到负系数又不反方向，最后答案方向全错但自己看不出来。这一堂用“代边界值”这一个动作，让学生自己验出方向对不对。

本堂目标　学生能够：① 解一元一次不等式，并在乘或除负数时把不等号反方向；② 把解集写成不等式并画在数线上，分清有等号用实心点、无等号用空心点；③ 解由两条不等式组成的不等式组，取交集并数出范围内的整数解。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
解一元一次方程	解 3x−5=7	x=4
数线	数线上 −3 与 2 之间有哪几个整数？	−2、−1、0、1
不等号读法	x 大于 4 与 x 不小于 4 有什么分别？	前者不含 4，后者含 4

02　课堂流程（45 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–5 分钟	一个错法	黑板写 −2x 大于 8，直接除 −2 得 x 大于 −4，问学生对不对	代 x=−10 试出错在哪
5–15 分钟	符号与数线	讲四个符号的读法，示范实心点与空心点	自己画两条数线
15–29 分钟	反方向的理由	用 −2x 大于 8 为例，两边加 2x 再处理，讲清反方向的来源	讲出为何要反方向
29–38 分钟	不等式组取交集	示范 x 大于 1 且 x 不大于 5，画两条线重叠部分	自己圈出交集并数整数
38–42 分钟	独立练习	发三题（负系数、不等式组、应用最多买几本），巡行只问“代边界值试过未”	每题都代边界值核对
42–45 分钟	离场检查	收答案，口头问“几时要反方向”	答：乘或除负数时

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：四个符号，四种读法

大于、小于、不小于、不大于；不等号开口向大数，这一点跟学生讲一次就够。“不小于 4”等于“大于或等于 4”，写成 x 大于或等于 4，数线上是实心点；“大于 4”不含 4，是空心点。这个分别决定之后整数解数得对不对：差一个点就差一个答案。叫学生把四个符号各自读一次。

叫学生讲出实心点与空心点的分别

第二幕：乘或除负数一定反方向

−2x 大于 8，两边除 −2，不等号要反方向，得 x 小于 −4。理由可以讲得浅：两边同时乘一个负数，大的变小、小的变大，次序就倒转。不放心就代值：x=−10 令左边等于 20，20 真的比 8 大，所以 −10 应该在答案里面；若写成 x 大于 −4，−10 就被排除，即刻自相矛盾。叫学生讲出为什么除负数要反方向。

叫学生讲出乘除负数要反方向的原因

第三幕：不等式组是取交集，不是取联集

两条不等式同时成立，答案是两段范围重叠的部分，不是合起来。x 大于 1 且 x 不大于 5，重叠就是 1 与 5 之间（含 5）。数线画两条，用不同颜色，重叠那段就是答案；数整数解就逐个点手指数，不要用心算。学生最常把“且”当成“或”，一写成“或”就变成整条数线。

叫学生讲出“且”与“或”的分别

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
解不等式	解 3x−5 大于 7	1) 两边加 5 得 3x 大于 12。2) 除 3（正数，方向不变）	x 大于 4
负系数	解 −2x+1 不大于 9	1) 两边减 1 得 −2x 不大于 8。2) 除 −2 并反方向	x 不小于 −4
不等式组	解 x 大于 1 且 x 不大于 5，并数整数解	1) 两条线画在同一数线上。2) 取重叠部分。3) 逐个数整数	1 与 5 之间（不含 1、含 5），整数 2、3、4、5 共 4 个
应用取整	每本笔记 8 元，身上有 50 元，最多可买几本？	1) 设买 n 本，写 8n 不大于 50。2) 得 n 不大于 6.25。3) 本数要整数并取向下	最多 6 本

合理性检查（一定要教）：三个检查：一是方向，只要过程中乘过或除过负数，就要回头看不等号有没有反；二是边界，把边界值代入原式，若原式取等号而不含等号，就应剔除该点；三是范围，答案写成不等式而不是一条等式，两条不等式就要写成一段（含两端或不含两端要讲清楚）。数值核对：3 乘 4 减 5 得 7，刚好等于右边 7，所以 x=4 不成立、要取大于；8 乘 6 得 48、8 乘 7 得 56，所以 6 本可以、7 本超过 50 元。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
解 5−2x 不小于 11	x 不大于 −3	有没有除 −2 之后忘记反方向
x 不小于 −1 且 x 小于 3，有几个整数解？	4 个（−1、0、1、2）	有没有漏掉负数那一端
每本笔记 8 元，有 50 元，最多买几本？	6 本	有没有把 6.25 向上取成 7

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
除负数不反方向	−2x 大于 8 得 x 大于 −4	除负数一定要反方向，所以是 x 小于 −4
“且”当成“或”	x 大于 1 且 x 不大于 5 写成整条数线	两条要同时成立，只取重叠那一段
空心实心画错	x 大于 4 画成实心点	不含 4 就画空心，含才画实心
应用题向上取整	6.25 本当成 7 本	买不到的书不能算，最多 6 本，要向下取

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

联立一次方程消元法，第 2 题　同样是两条关系同时成立
二次方程公式与判别式，第 3 题　同样靠代值判断范围是否合理
多项式运算，第 4 题　移项与合并同类项要准，否则方向对也算错

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
解 4x+3 小于 19	x 小于 4	答 x 大于 4 表示移项时方向乱了
解 −3x 大于 12	x 小于 −4	答 x 大于 −4 表示忘记除负数要反方向
x 大于 2 且 x 不大于 4，最大整数解是什么？	4	答 3 表示把“不大于”当成“小于”

09　导师常问

“不大于”可否写成“小于”？

不可以，两者差一个点。考试最常见的失分就是把“不大于”写成“小于”，答案数目少一个。

不等式组一定要画数线吗？

建议画，两条线一重叠，交集一眼看到。等到熟练才用“取较窄那一边”的口诀。

应用题何时向下取整？

凡是“最多买几多”“可以载几多人”这类不可以有半个的数量就向下取；“最少要几多架车”就要向上取，讲清方向再落笔。

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