中三数学｜二次方程求解：配方法、公式法与判别式备课指引（导师用）

2026-11-14

学生一到二次方程就背公式，但一问“为什么要写正负”就答不出，于是每次漏一个根。这一堂要由配方法亲手砌出公式，再用判别式一个数字讲清实根数目，最后把“代回原式检查”变成习惯动作。

本堂目标　学生能够：① 用配方法把 x² + bx + c = 0 化成 (x + b/2)² = k 并解出两个根；② 正确抄出 a、b、c 并用公式法求解，包括负数根与分数根；③ 用判别式 D = b² − 4ac 判断实根数目（两个、一个、无），并讲出它对应抛物线与 x 轴的交点数目。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
因式分解	x² − 5x + 6 可以分解成什么？	(x − 2)(x − 3)，两数相加 −5、相乘 6
平方根	9 的平方根有几个？	两个：3 和 −3，所以开根要写 ±
面积与周界	长方形长 6 宽 4，面积与周界各是多少？	面积 24，周界 20

02　课堂流程（45 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–5 分钟	两条方程热身	板上写 x² − 5x + 6 = 0 与 x² = 9，只问“各有几个解”	讲出解并数出数目
5–15 分钟	配方法	把 x² + 6x + 5 = 0 写成 (x + 3)² = 4，示范两边同步加同一个数	自己完成 x² + 8x + 7 = 0 的配方
15–27 分钟	公式法	由 ax² + bx + c = 0 推出 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a，用 2x² − 3x − 2 = 0 走一次	用公式完成一题并先写出 a、b、c
27–37 分钟	判别式	示范 D = b² − 4ac：25 两实根、0 重根、−3 无实根，配三幅抛物线对应	判断三条方程各有几个实根
37–43 分钟	根的关系与应用	讲和 = −b/a、积 = c/a，再用周界 20、面积 24 的长方形建立方程	由文字题列出方程并解
43–45 分钟	离场检查	收回三题：一题配方、一题判别式、一题根的和积	作答并交回

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：配方法：不是背，是左右同步加

配方法的核心只有一句：把 x² + bx 加上 (b/2)² 就成完全平方，因为 (x + b/2)² = x² + bx + (b/2)²。要学生习惯“左边加了，右边同步加同一个数”。以 x² + 6x + 5 = 0 为例：b = 6，b/2 = 3，两边加 9 → x² + 6x + 9 = 4 → (x + 3)² = 4 → x + 3 = ±2 → x = −1 或 −5。三个检查位：① b/2 要连符号一齐取，b 是负数时 (b/2)² 仍然是正；② 开根要写 ±，漏 ± 就少一个解；③ 首项系数不是 1 时（例如 2x² + 8x − 10 = 0），要先整条除以 2。

叫学生做 x² + 8x + 7 = 0，并讲出“两边加了 16”，答案 x = −1 或 −7

第二幕：公式法：a、b、c 抄错就全题错

由 ax² + bx + c = 0（a 不等于 0）得 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a。学生第一步不是代数，而是把方程整理成右边等于 0 的标准式，再逐个抄 a、b、c 并连符号。以 2x² − 3x − 2 = 0 为例：a = 2、b = −3、c = −2，b² − 4ac = 9 + 16 = 25，√25 = 5，x = (3 ± 5) / 4，得 x = 2 或 x = −0.5。三个常见抄错：未整理就抄（x² = 5x − 6 直接当 b = 5、c = −6）、把 −b 写成 b、把 2a 写成 a。

叫学生讲出 x² − 4x − 12 = 0 的 a、b、c，再算出 D = 64 与两个根 6、−2

第三幕：判别式：一个数字讲三个故事

D = b² − 4ac 决定实根数目，因为它就在根号里面：D 大于 0 有两个不同实根（抛物线与 x 轴交两点）、D 等于 0 有一个重根（顶点贴著 x 轴）、D 小于 0 无实根（整条线在 x 轴上方或下方）。例子：x² + 4x + 4 的 D = 16 − 16 = 0，重根 x = −2；x² + x + 1 的 D = 1 − 4 = −3，无实根。要提醒 D 小于 0 不等于“无解”，而是“无实根”，中三只处理实数。

给三条方程，要求只计 D 就讲出实根数目，并在草稿画对应抛物线

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
配方法求根	用配方法解 x² + 6x + 5 = 0。	① 取 b/2 = 3 ② 两边加 9 ③ 开根写 ± ④ 写出两个根	x = −1 或 x = −5
公式法	解 2x² − 3x − 2 = 0。	① 确认为标准式 ② 抄 a = 2、b = −3、c = −2 ③ 算 D = 25 ④ 代公式	x = 2 或 x = −0.5
判别式判断	判断 x² + x + 1 = 0 有几个实根。	① 抄 a、b、c ② 算 D = −3 ③ D 小于 0 ④ 答无实根	0 个实根（D = −3）
文字题建模	长方形周界 20、面积 24，求边长。	① 设阔 w、长 w + 2 ② 列 w(w + 2) = 24 ③ 整理成 w² + 2w − 24 = 0 ④ 解得 4 与 6	阔 4、长 6

合理性检查（一定要教）：每次做完做三重检查。第一重代入：把根代回原方程，两边要相等（2 与 −0.5 代 2x² − 3x − 2 都得 0）。第二重数目：二次方程最多两个实根，计出三个或一个半就一定有错，D 的符号要与根的数目一致。第三重情境：文字题的根如果是负数而代表长度，要主动剔除并写明理由，不可以照写“边长 −8”。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
用配方法解 x² + 8x + 7 = 0。	x = −1 或 x = −7（两边加 16）	有无同步加 16、有无写 ±
判断 3x² − 6x + 3 = 0 有几个实根。	1 个（D = 36 − 36 = 0，重根 x = 1）	有无算出 D = 0 并讲重根
长方形周界 20、面积 24，求阔。	阔 4（长 6）	有无剔除负根并讲理由

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
开根漏 ±	x² = 9，所以 x = 3。	“平方根有两个：x 等于正负 3。漏一个等于方程只解了一半，答案要两个都写。”
未整理就抄 a、b、c	x² = 5x − 6，所以 b = 5、c = −6。	“先把右边搬去左边变成 x² − 5x + 6 = 0，b 才系 −5、c 系 6。符号是搬项时决定的，不是看原位。”
判别式当成解	D = −3，所以 x = −3。	“D 只讲有几个实根，不系根本身。D 小于 0 代表无实根，不系根等于 −3。”
负根照收	边长解到 −8 和 3，所以边长是 −8。	“边长不可以负。两个根都要计，但要逐个对情境，不合理的要写明剔除同理由。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

二次方程因式分解（第 1–5 题）　先练分解再练公式，分解得快可以省时间
直线方程（第 2–4 题）　斜率和截距的符号处理，同今堂抄 a、b、c 一样要小心
中学数学索引（挑 2 份代数卷计时）　20 分钟计时，重点看有无写 ± 与做代入检查

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
x² = 16 的两个根是？	4 和 −4	少一个要重讲 ± 的来源
x² + 2x + 5 的判别式是多少，有几个实根？	D = 4 − 20 = −16，无实根	答得出负数并讲无实根＝过关
二次方程最多有几个实根？	两个	答三个代表公式或开根步骤有误

09　导师常问

为什么不直接教公式法，要教配方法？

因为配方法是公式的来源。学生亲手砌过 (x + b/2)²，就不会把 2a 写成 a、把 −b 写成 b。而且部分题目直接要求“用配方法”，跳过就等于放弃整题。

D 小于 0 是否等于无解？

严格讲是无实根，方程在复数范围仍有解。中三答“无实根”最安全；学生问起就讲“中三只处理实数”。

文字题的负根要写出来吗？

要写出计算过程的两个根，然后逐个对情境。直接丢掉负根会失步骤分，写“−8 不合，因为长度不能为负”才是完整答案。

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