中三数学｜概率入门备课指引（导师用）｜样本空间、古典概率、互斥与补事件

2026-11-10

概率的分母不是“有几多个结果”，而是“所有同样可能的结果有几多个”；这一句决定全部题目的对错。

本堂目标　学生能够：(1) 列出掷一粒或两粒骰子的样本空间，并讲出为什么每个结果同样可能；(2) 用“符合条件的结果数除以全部结果数”计概率，并正确处理互斥事件的加法；(3) 用补事件 1 减 P(A) 与期望次数 n 乘 p 解决实际情境，在 12 题诊断中答对至少 9 题。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
分数约简	6 分之 3 约简是多少？	2 分之 1
列举	掷两粒骰子，全部结果有几多个？	36
百分数	0.4 写成百分数是多少？	40%

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0-6 分钟	样本空间先写齐	一粒骰子 6 个结果；两粒骰子 36 个有序结果，不可只写 11 个和	列出两粒骰子的表
6-16 分钟	古典概率	掷一粒骰子得偶数：符合 3 个，概率 3/6 等于 0.5	写出分母与分子
16-28 分钟	互斥事件加法	两粒骰子和是 7 有 6 个结果、和是 12 只有 1 个，两者互斥可直接加	判断是否互斥
28-40 分钟	补事件	下雨概率 0.35，不下雨就是 0.65；20 日之中约 7 日落雨	用 1 减 P(A)
40-54 分钟	12 题诊断	三粒硬币、转盘、抽球：答对 9 题、错 3 题	独立完成
54-60 分钟	离场检查	三条口头问题，任何一题错就回到对应段落重教	口头作答

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：样本空间要写齐，而且每个结果同样可能

掷两粒骰子，若只写“和由 2 到 12 共 11 个结果”就错了，因为和是 7 有 6 种方法、和是 12 只有 1 种，两个和不是同样可能。正确做法是写 36 个有序结果，每个概率都是 36 分之 1。
教学动作：要求学生画 6 乘 6 的表格，行是第一粒、列是第二粒，先填满 36 格，之后所有题目都在这张表上数。

学生做：画出两粒骰子的 36 格表，数出和是 7 的格数（6 格）与和是 12 的格数（1 格）。

第二幕：古典概率：分子数结果，分母数全部

掷一粒骰子得偶数：符合的有 2、4、6 共 3 个，全部有 6 个，概率是 3/6，化简成 2 分之 1。概率一定在 0 与 1 之间，计出 1.5 或 6 分之 8 都代表分母数错。
教学动作：每题先写“全部结果：…；符合结果：…”两行，写齐才开始约简，格式固定出错率就低。

学生做：计掷一粒骰子得质数的概率（3 分之 1），并写出全部结果与符合结果各几个。

第三幕：互斥事件才能直接加

两粒骰子和是 7 有 6 个结果、和是 12 有 1 个结果，两个事件不可能同时发生，所以概率可以直接加：36 分之 6 加 36 分之 1 等于 36 分之 7。若两个事件可以同时发生（例如“得偶数”与“大于 3”），直接加就会重复计算 4 与 6。
教学动作：加之前先问一句“有没有结果同时属于两件事”，有就先减去重复部分。

学生做：计两粒骰子和是 10 或以上的概率（6/36 等于 6 分之 1），并讲出为何可以直接加。

第四幕：补事件与期望次数

有些事情直接数很麻烦，数“相反的那件事”容易得多：下雨概率 0.35，不下雨就是 1 减 0.35 等于 0.65。期望次数是次数乘概率：转盘 40% 中奖，转 300 次，预期中 120 次。
教学动作：提醒“期望”不是保证，转 300 次不会刚好 120 次，但次数越多越接近，这句话每年考试都值得讲一次。

学生做：三粒硬币全部有 8 个结果，计刚好两个公的概率（3/8），再用 1 减去“0 个公”与“3 个公”验算。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
单一事件	掷一粒骰子得偶数	分子数符合结果，分母数全部结果	2 分之 1
两粒骰子	和是 7、和是 12	必须用 36 个有序结果，不可用 11 个和	6/36 与 1/36
互斥事件	和是 7 或 12	先确认不能同时发生，再直接加	36 分之 7
期望次数	转盘 40%，转 300 次	次数乘概率，答案讲“约”	约 120 次

合理性检查（一定要教）：合理性检查：每个概率必须在 0 与 1 之间；所有互斥且穷尽的事件概率加起来必须等于 1；用 36 个有序结果时，分母一定是 36，不是 12 或 21；期望次数必须小于或等于总次数；答案写“约”表示期望值不是保证值；诊断 12 题对 9 题即 75%，未达标就回到样本空间那一段重教。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
四题单一事件	骰子、扑克牌、抽球	分母是不是全部同样可能的结果
三题两粒骰子	和是某数、积是某数	有没有用 36 格表数，而不是用 11 个和
三题补事件	至少一个、不是某结果	有没有用 1 减 P(A)，避免逐个数
两题期望次数	转盘与抽奖	答案有没有写“约”

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
用和当结果	两粒骰子写成 11 个结果	和是 7 有 6 种方法、和是 2 只有 1 种，机会不相等；要用 36 个有序结果做分母。
分母用总数而非总结果	掷骰子得偶数写成 3 分之 1	分母是全部可能结果 6 个，不是 3 个；3 是符合的结果数，写在分子。
互斥事件乱加	“得偶数”与“大于 3”直接相加	4 与 6 同时属于两件事，直接加会重复计；先找出重复的结果再减去。
期望当成保证	转 300 次就说一定会中 120 次	期望是长期平均，次数少的时候偏差可以很大，答案要写“约”。

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

中学数学章节索引　同科其他章节一次过看
备课指引总目录　比较相关章节
重做本章　重做诊断题第 7 至 12 题，每题先写样本空间

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
掷一粒骰子得偶数的概率	2 分之 1	答 3 分之 1 表示分母数错，重教第二段
两粒骰子和是 7 的概率	36 分之 6	答 11 分之 1 表示用了 11 个和做分母，重教第一段
不下雨的概率（下雨 0.35）	0.65	答 0.35 表示没有用补事件，重教第四段

09　导师常问

为什么两粒骰子有 36 个结果？

因为两粒骰子可以分辨（第一粒与第二粒），(1, 6) 与 (6, 1) 是两个不同结果，所以 6 乘 6 等于 36。

概率可以用百分数答吗？

可以，0.5 等于 50%，两种写法都接受；但同一题内要统一，不要一半写分数一半写百分数。

期望次数一定是整数吗？

不一定，转 300 次得 120 次是整数只是巧合；算出 2.45 次也照写，答案表示平均，不是实际次数。

立即免费找导师导师登记 →

本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。