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中三数学｜二次方程应用：速率、几何与取舍负根 备课指引（导师用）
学生识用公式解 x²+3x−40=0，但一见到“长比阔多 3 cm、面积 40 cm²”就停手，因为他们分不清“哪一个是未知数”与“哪一个是条件”。这一堂只做三件事：设好未知数、写出方程、把不合物理的第二个根舍掉。
本堂目标 学生能够：① 由一段文字题设出一个未知数，并把其余资料写成同一个未知数的代数式；② 分别用“面积等于长乘阔”与“时间等于距离除以速率”两类模型写出二次方程并求解；③ 讲出为何要舍去其中一个根，并用代入法核对剩下那个根符合题意。
01 先备知识（开课前 3 分钟快检）
以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：
| 技能 | 快检题 | 过关标准 |
|---|---|---|
| 解二次方程 | x²−5x+6=0 的两个根是什么？ | 2 与 3 |
| 因式分解 | x²+3x−40 可以分解成什么？ | (x+8)(x−5) |
| 速率公式 | 速率、时间、距离三者的关系写出来 | 时间 = 距离 ÷ 速率 |
02 课堂流程（45 分钟）
| 时间 | 环节 | 导师做什么 | 学生做什么 |
|---|---|---|---|
| 0–5 分钟 | 一个停手位 | 写“长比阔多 3，面积 40”，问学生第一步做什么 | 答：先设阔做 x |
| 5–14 分钟 | 设未知数 | 示范把“长”写成 x+3，要学生填表：阔 x、长 x+3、面积 x(x+3) | 自己写出三个代数式 |
| 14–29 分钟 | 两个模型 | 先做面积模型 x(x+3)=40，再做速率模型 60/v+60/(v+10)=5 | 讲出每个模型对应哪一条公式 |
| 29–38 分钟 | 舍根 | 两个根一正一负，问“阔可不可以是负数”，示范写“负根不合，故阔 5” | 自己写出舍根那句 |
| 38–42 分钟 | 独立练习 | 发三题（面积、连续整数、直角三角形），巡行只问“设了谁做 x” | 先写设未知数才落方程 |
| 42–45 分钟 | 离场检查 | 收答案，口头问“另一个根为什么不要” | 答：不符合题意的实际范围 |
03 讲解脚本（照着说就可以）
第一幕：第一步永远是设未知数
见到文字题不要即刻抄数字，先问“题目要我找什么”。把要找的那个量设做 x，其余全部写成 x 的式子。“长比阔多 3”的意思是长 = x+3，不是长 = 3。“面积 40”的意思是 x 乘 (x+3) 等于 40，这就是方程。叫学生用一句话讲出他们设了什么做 x。
叫学生讲出他们设了哪个量做 x
第二幕：两个模型：面积与时间
面积模型来来去去都是长乘阔等于面积；速率模型只有一条路：时间 = 距离 ÷ 速率，去程与回程分开写再相加。去程 60 km、速率 v，时间就是 60 除以 v；回程速率快 10，时间就是 60 除以 (v+10)。两段时间相加等于 5 小时，方程就出来。学生最常把“速率快 10”写成“时间少 10”，你要他读一次单位。
叫学生讲出去程与回程的时间怎样写
第三幕：两个根只有一个合物理
二次方程一定有两个根，但应用题的答案要合物理：阔、长、速率、时间都不可以是负数。解出 x=5 与 x=−8，就要写一句“x 为阔，不可为负，故 x=5”。这句不是礼貌，是得分位；没有写就当你未完成。最后用代回原题检查：阔 5、长 8、面积 40，对得上才算做完。
叫学生讲出为何要舍去负根
04 必教题型与步骤
| 题型 | 例子 | 步骤 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 面积模型 | 长方形的长比阔多 3 cm，面积 40 cm²，求阔。 | 1) 设阔 x，长 x+3。2) 写 x(x+3)=40。3) 整理成 x²+3x−40=0 并分解 | 阔 5 cm，长 8 cm |
| 连续整数 | 两个连续正整数的积是 72，求较小的一个。 | 1) 设较小为 x，较大为 x+1。2) 写 x(x+1)=72。3) 解 x²+x−72=0 | x=8（另一个根 −9 不合正整数） |
| 速率时间 | 汽车以速率 v 走 60 km，回程快 10 km/h，全程 5 小时，求 v。 | 1) 去程时间 60÷v。2) 回程 60÷(v+10)。3) 相加等于 5，两边乘 v(v+10) | v=20 km/h（−6 不合） |
| 几何勾股 | 直角三角形两股相差 7 cm，斜边 13 cm，求较短股。 | 1) 设短股 x，长股 x+7。2) 用 x²+(x+7)²=13²。3) 化简成 x²+7x−60=0 | 5 cm（另一根 −12 不合） |
合理性检查（一定要教）：三个检查：一是设得对不对，把答案代回原文的每一句，长是否真的多 3、面积是否真的 40；二是根的数目，二次方程一定要有两个根，只得一个通常表示漏了其中一个或忘了移项；三是范围，速率、长度、时间都要正数，两根皆负或一正一负就要写舍根句。数值核对：5 与 8 相差 3、相乘 40；5、12、13 满足 25 加 144 等于 169，这两个组合可以用来即场检查学生答案。
05 独立练习三题
| 题目 | 答案 | 想观察什么 |
|---|---|---|
| 两个连续正整数的积是 72，求较小的一个。 | 8 | 有没有用 x 与 x+1 而不是用 x 与 x+2 |
| 长方形的长比阔多 3 cm，面积 40 cm²，求阔。 | 5 cm | 有没有把“多 3”写成 x−3 |
| 直角三角形两股相差 7 cm，斜边 13 cm，求较短股。 | 5 cm | 有没有用 x²+(x+7)²=169 而漏了平方 |
06 学生常见错误与纠正句
| 错误 | 学生通常这样写 | 导师这样说 |
|---|---|---|
| “多 3”写成减 3 | 长 = x−3，面积 x(x−3)=40 | 长比阔多，所以长是 x 加 3，不是减 3 |
| 速率快 10 当时间少 10 | 去程 60÷v、回程 60÷v−10 | 速率要放入分母：回程是 60 除以 (v+10) |
| 忘记写舍根句 | x=5 或 x=−8，答案 5 或 −8 | 写一句：阔不可为负，故 x=5 |
| 解完不代回 | 计到 5 就收笔 | 代回原文：长 8、面积 5 乘 8 等于 40，对得上才算完 |
07 家课建议（直接指到练习卷题号）
- 二次方程公式与判别式，第 3 题 先判别式大于 0 才肯定有两个实根
- 联立一次方程消元法，第 2 题 同样是先设未知数再落方程
- 多项式运算，第 4 题 展开时漏一项就会令方程解错
08 离场检查（最后 5 分钟）
| 题目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| 一个数的平方等于这个数的 6 倍，求这个非零数。 | 6 | 答 0 或只写“6 或 0”表示未读“非零” |
| 速率方程解出 v=20 或 v=−6，答案怎样写？ | 20 km/h，−6 不合因为速率不可为负 | 只写 20 而没有讲理由，要补舍根句 |
| 长方形的阔 x、长 x+5、面积 24，求阔。 | 3 | 答 8 表示混淆了阔与长 |
09 导师常问
中三要不要背公式？
应用题多数可以用因式分解处理，本堂的方程都能分解。真的分解不到才用公式，公式与判别式那一章已经处理。
速率题要不要画表？
要。画两行（去程、回程），三栏（距离、速率、时间），把已知数字填进去，方程自然浮出来，比硬记快。
学生坚持写两个答案怎么办？
叫他代入原文读一次：“阔是负 8 厘米”读出来就会自己笑。用读句法比讲道理有效。
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