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中四数学 指数与对数练习三（挑战）：十题换元、不同底与估位数
中四数学 指数与对数练习三（挑战）：十题换元、不同底与估位数
十题推到难位：换元解二次型指数方程、不同底对数合并、估大数位数与常见谬误。
直接答案 第 01 至 03 题练负指数、同底对数相减与倒数乘方，第 04 至 06 题练对数方程、双字母化简与已知对数求值，第 07 至 09 题练换元、不同底合并与估位数，第 10 题针对把指数当除数。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 25 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中四数学 指数与对数 |
| 适用年级 | 中四 |
02 题目（10 题）
- 基础解方程 4ˣ = 1/8。
- 基础求 log₅ 125 − log₅ 5 的值。
- 基础计算 (2/3)⁻²，答案用小数。
- 进阶解方程 log₃ (x + 2) − log₃ x = 1。
- 进阶化简 (a^(2/3) b^(1/2))⁶。
- 进阶已知 log 2 = 0.3010、log 7 = 0.8451，求 log 56（四位小数）。
- 挑战解方程 9ˣ − 4(3ˣ) + 3 = 0。
- 挑战解方程 log₂ x + log₄ x = 3。
- 挑战2¹⁰⁰ 是几位数？（已知 log 2 = 0.3010）
- 错题重练有学生解 2ˣ = 3 时写 x = 3/2。错在哪里？正确值是多少？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | x = −1.5 | 两边写成 2 的幂：2^(2x) = 2⁻³，得 2x = −3，x = −1.5。 |
| 2 | 2 | log₅ 125 = 3，log₅ 5 = 1，相减得 2。 |
| 3 | 2.25 | 负指数取倒数再平方：(3/2)² = 9/4 = 2.25。 |
| 4 | x = 1 | 相减等于真数相除：(x + 2)/x = 3，解得 x = 1，代回真数皆为正。 |
| 5 | a⁴b³ | 指数相乘：a 的 2/3 × 6 = 4，b 的 1/2 × 6 = 3，得 a⁴b³。 |
| 6 | 1.7482 | 56 = 8 × 7，所以 log 56 = 3 log 2 + log 7 = 0.9030 + 0.8451 = 1.7482。 |
| 7 | x = 0 或 x = 1 | 设 y = 3ˣ，得 y² − 4y + 3 = 0，y = 1 或 3，故 x = 0 或 1。 |
| 8 | x = 4 | log₄ x 等于一半的 log₂ x，故 1.5 log₂ x = 3，log₂ x = 2，x = 4。 |
| 9 | 31 位 | log(2¹⁰⁰) = 100 × 0.3010 = 30.10，位数是整数部分加一，得 31 位。 |
| 10 | 不可把指数当成除数，x = log₂ 3 ≈ 1.5850 | 未知数在指数位置要用对数：x = log 3 ÷ log 2 ≈ 1.5850，3/2 只是把底数当分母。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。