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中四数学：对数 练习二（换底与解方程）
中四数学：对数 练习二（换底与解方程）
本分集中换底公式与对数方程，重点是化同底、取对数，以及验证真数为正。
快速答案 1. 3.32｜2. 1/3 与 1/2｜3. 2.5｜4. x = 3｜5. 5.32｜6. x = 4｜7. x = 5｜8. 3｜9. 0.793 与 3.585｜10. x = 7
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 题 |
| 建议时间 | 25 分钟 |
| 难度分布 | 基础 4 · 进阶 3 · 挑战 2 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中四数学 对数 |
| 适用年级 | 进阶应用 |
02 题目（10 题）
- 基础用换底公式求 log₂10（取 log₁₀2 ≈ 0.3010）。
- 基础求 log₈2 与 log₉3。
- 基础求 log₄32。
- 基础解 3^(x+1) = 81。
- 进阶解 2^x = 40（取 log₁₀2 ≈ 0.3010、log₁₀40 ≈ 1.6021）。
- 进阶解 log₂x + log₂(x − 2) = 3。
- 进阶解 log₁₀x + log₁₀(x − 3) = 1。
- 挑战求 log₂3 × log₃4 × log₄8。
- 挑战已知 log₂3 ≈ 1.585，求 log₂√3 与 log₂12。
- 错题重练有同学解 log₂(x + 1) = 3 得 x = 9，理由是“把 2³ 写成 3²”。正确答案为多少？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | log₂10 = log₁₀10 ÷ log₁₀2 = 1 ÷ 0.3010 ≈ 3.32。 | 换底公式把没有按键的底数换成计算机能按的底数。 |
| 2 | log₈2 = 1/3（因 8^(1/3) = 2）、log₉3 = 1/2（因 9^(1/2) = 3）。 | 真数是底数的方根时，答案就是对应的分数。 |
| 3 | log₄32 = log₂32 ÷ log₂4 = 5 ÷ 2 = 2.50。 | 4 与 32 同为 2 的次方，换成底 2 一步可得。 |
| 4 | 81 = 3⁴，故 x + 1 = 4，x = 3。 | 两边化成同底之后，只需比较指数。 |
| 5 | x = log₁₀40 ÷ log₁₀2 ≈ 1.6021 ÷ 0.3010 ≈ 5.32。 | 未知数在指数位置时，两边取对数就能把它拉下来。 |
| 6 | x(x − 2) = 8，x² − 2x − 8 = 0，(x − 4)(x + 2) = 0，因 x > 2 取 x = 4。 | 解完必须检查真数为正，x = −2 会令对数无定义。 |
| 7 | x(x − 3) = 10，x² − 3x − 10 = 0，(x − 5)(x + 2) = 0，取 x = 5。 | 两个根之中只有 x = 5 令两个真数都是正数。 |
| 8 | 连锁换底后只剩 log₂8 = 3。 | 相邻的底与真数互相抵消，只留首尾两个数。 |
| 9 | log₂√3 = 1.585 ÷ 2 ≈ 0.792；log₂12 = 2 + 1.585 ≈ 3.585。 | 开平方等于乘 1/2，而 12 可拆成 4 × 3。 |
| 10 | x + 1 = 2³ = 8，所以 x = 7。 | 改写指数式时底数保持不变，只有指数搬到等号右边。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。
