DSE 數學｜對數與指數方程備課指引（導師用）｜對數律、換底、指數方程四步

2026-11-01

學生識按計數機的 log 鍵，但一問「log₂64 點解係 6」就答不出。這一堂要把對數拉回「問指數是多少」這一條問題。

本堂目標　學生能夠：① 把 aˣ = b 與 logₐb = x 互相改寫；② 用 log(xy) = log x + log y、log(x/y)、log xⁿ = n log x 拆項；③ 用「兩邊取對數」解 aˣ = b 並按題意取整。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
指數律	2³ × 2² 等於 2 的幾次方	2⁵ = 32
開方	9 的 1.5 次方	27
計數機	log 7 ÷ log 3 按出來大約多少	約 1.77

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–5 分鐘	開場快問	寫 2ˣ = 32，問「x 是多少，你怎樣知道」	舉手答並講方法
5–15 分鐘	先備快檢	三條指數律快檢，逐條核	書面作答
15–35 分鐘	三幕講解	照腳本講定義、三條律、兩邊取對數	每幕後複述一句
35–45 分鐘	題型示範	示範改寫、拆項、指數方程各一題	跟抄並標步驟編號
45–55 分鐘	獨立練習	巡行，只問「你有無兩邊取對數」	做三題並自對
55–60 分鐘	離場檢查	收答案，即場數錯	書面作答

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：第一幕：對數就是「指數是多少」

「log₂64 唔係一個新怪物，佢問嘅係：2 要自乘幾多次才等於 64？2⁶ = 64，所以答案是 6。同樣 log₃81 = 4，因為 3⁴ = 81。要留意三條底線：底數要正且不等於 1；真數要正，log 0 同 log 負數都無定義；logₐ1 = 0，因為任何數的 0 次方都是 1。答題時見到 log 就不要急按機，先問「邊個指數」。」

「log₂64 這個寫法在問什麼？」

第二幕：第二幕：三條律由指數律直接搬過來

「對數律不是新發明，是指數律的影子。2³ × 2⁴ = 2⁷，指數相加；所以 log(xy) = log x + log y。同理 2⁷ ÷ 2³ = 2⁴，指數相減，就有 log(x/y) = log x − log y；(2³)² = 2⁶，指數相乘，就有 log xⁿ = n log x。第三條最有用：見到 2ˣ = 7，兩邊取 log，得 x log 2 = log 7，x = log 7 ÷ log 3？錯，係除以 log 2，答案大約 1.77。」

「三條對數律分別對應哪一條指數律？」

第三幕：第三幕：指數方程四步

「第一步，底數如果可以統一就先統一：9ˣ = 27 寫成 3²ˣ = 3³。第二步，底數統一到就比較指數，2x = 3。第三步，不能統一就兩邊取對數：1.05ⁿ = 2，n = log 2 ÷ log 1.05。第四步，按題意取整：14.2 年，問「最少要幾年」就答 15 年，不是 14 年。取整方向答錯，方法全對都會扣分。」

「什麼時候比較指數，什麼時候兩邊取對數？」

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
改寫對數式	把 5³ = 125 寫成對數式。	① 找底數 5；② 指數 3；③ 結果 125 是真數 → log₅125 = 3。	log₅125 = 3
拆項化簡	化簡 log 8 + log 5 − log 4（以 10 為底）。	① 加變乘、減變除：log(8×5÷4)；② 8×5÷4 = 10；③ log 10 = 1。	1
指數方程（可統一底數）	解 9ˣ = 27。	① 9 = 3²、27 = 3³；② 3²ˣ = 3³；③ 2x = 3。	x = 1.5
指數方程（要取對數）	解 3ˣ = 7（三位小數）。	① 兩邊取 log；② x = log 7 ÷ log 3；③ 1.7712。	x ≈ 1.771

合理性檢查（一定要教）：合理性檢查：答案代回原式要對——9^1.5 = 27 用計數機核一次；log₂64 應為整數 6，若得 5 或 7 就是乘錯次數；n = 14.21 這類答案要檢查「取整方向」：1.05^14 = 1.98 未夠 2，所以要 15。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
求 log₄64。	3（4³ = 64）	是否把 4 與 64 的次方關係拉對
解 2³ˣ = 64。	x = 2（2⁶ = 64，3x = 6）	有沒有先統一再比較指數
若 log₂x = 5，求 x。	32	是否把對數式改回指數式而不是反過來

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
底數與真數調轉	把 log₅125 寫成 log₁₂₅5	「細嘅數係底，大嘅數係真數；你寫反了，答案就變成分數。」
拆項時把加變乘錯方向	log 8 + log 5 寫成 log 40 卻又再乘 5	「加就對應乘，只做一次，唔好做兩次。」
兩邊取對數除錯底	x = log 7 ÷ log 3 卻寫成 ÷3	「除嘅係 log 3，唔係 3；分母要有 log。」
取整方向錯	14 年就答「夠」	「1.05 的 14 次方仍然細過 2，最少要 15 年才夠。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

中學數學章節索引（二次方程、函數、三角、概率與統計）　全科章節，先做對數一章
中學備課指引總覽　全科索引

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
求 log₅125。	3	錯＝重講第一幕定義
解 9ˣ = 27。	x = 1.5	錯＝重練統一底數
解 2ˣ⁻¹ = 16。	x = 5	錯兩題以上＝回到第三幕四步

09　導師常問

這一章適合哪個年級？

中四至中六，DSE 數學必修部分的指數與對數題都用得上。

可以只用計數機嗎？

計算可以用，但改寫與拆項必須手寫，否則卷一 long question 拿不到方法分。

有無配套練習？

家課欄連到數學章節索引，可配二次方程與函數章節順序排。

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本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。