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中四数学：对数 练习三（应用与比较）
中四数学：对数 练习三（应用与比较）
本分把对数放进 pH、地震规模、分贝与复利四个情境，并比较不同底数的对数大小。
快速答案 1. 3｜2. 10⁻⁴ mol/L｜3. 3 级｜4. 10 步｜5. 3 个｜6. 约 9 年｜7. 30 dB｜8. 100 倍与 1 000 倍｜9. log₂5 较大｜10. 20 dB
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 题 |
| 建议时间 | 25 分钟 |
| 难度分布 | 基础 4 · 进阶 3 · 挑战 2 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中四数学 对数 |
| 适用年级 | 挑战 |
02 题目（10 题）
- 基础某溶液氢离子浓度 [H⁺] = 10⁻³ mol/L，求 pH。
- 基础某溶液 pH = 4，求 [H⁺]。
- 基础两次地震的振幅比为 1 000 倍，里氏规模相差多少级？
- 基础某程序每步把运算次数加倍，由 1 次增至 1 024 次需要多少步？
- 进阶放射性物质只剩下原来的 1/8，经过了多少个半衰期？
- 进阶年利率 8%（每年复利），本金翻倍约需多少年？（取 log₁₀2 ≈ 0.3010、log₁₀1.08 ≈ 0.0334）
- 进阶声音强度增加 1 000 倍，声量增加多少分贝？
- 挑战地震 A 规模 7、地震 B 规模 5，两者振幅比与能量比各为多少？
- 挑战比较 log₂5 与 log₃5 的大小，并说明理由。
- 错题重练有同学见声音强度大 100 倍，就答“声量增加 100 dB”。正确答案是多少？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | pH = −log₁₀(10⁻³) = 3。 | pH 每下降 1，酸度就强 10 倍。 |
| 2 | [H⁺] = 10⁻⁴ mol/L。 | 把 pH 的定义反过来写，就是 10 的负 pH 次方。 |
| 3 | M = log₁₀1000 = 3，即相差 3 级。 | 规模是振幅的常用对数，差 1 级等于振幅差 10 倍。 |
| 4 | log₂1024 = 10，共 10 步。 | 每次加倍的问题用底 2 的对数最直接。 |
| 5 | (1/2)ⁿ = 1/8，n = log₂8 = 3，即 3 个半衰期。 | 半衰期用底 2，剩余比例的分母正是 2 的次方。 |
| 6 | n = 0.3010 ÷ 0.0334 ≈ 9.01，约需 9 年。 | 翻倍时间可用 72 法则快速估算：72 ÷ 8 = 9。 |
| 7 | 10 log₁₀1000 = 10 × 3 = 30，即增加 30 dB。 | 分贝是 10 倍的常用对数，强度乘 10 只加 10 dB。 |
| 8 | 振幅比 = 10^(7−5) = 100 倍；能量比 ≈ 10^(1.5 × 2) = 1000 倍。 | 能量约与振幅的 1.5 次方成正比，所以能量差距放大得更快。 |
| 9 | log₂5 ≈ 2.32、log₃5 ≈ 1.46，故 log₂5 较大。 | 真数大于 1 时，底数越小，对数值越大。 |
| 10 | 10 log₁₀100 = 20，正确是增加 20 dB。 | 分贝是对数单位，强度 100 倍只等于 20 dB。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。
