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中四数学 立体图形度量：第二份（进阶）
中四数学 立体图形度量：第二份（进阶）
第 2 份（进阶）十题立体图形度量练习，附答案与一句解说。
直接答案 适用程度：中四数学；题型：体积、表面积、圆锥展开图、相似立体比例。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 20 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中四数学 立体图形度量 |
| 适用年级 | 中四 |
02 题目（10 题）
- 基础球体的半径 3 cm。求它的表面积（以 π 表示，并取三位小数）。
- 基础圆柱的半径 7 cm、高 2 cm。求它的曲面面积（不计两个底）。
- 基础四角锥的底面是 6 cm × 6 cm 的正方形，高 5 cm。求它的体积。
- 进阶圆锥的半径 5 cm、斜高 13 cm。求它的高与体积。
- 进阶半球体的半径 6 cm。求它的体积（以 π 表示，并取三位小数）。
- 进阶一条圆柱形水管，内半径 2 cm、长 50 cm。求管内空间的体积。
- 挑战两个相似圆柱的表面积比是 9 : 25。求它们的边长比与体积比。
- 挑战圆锥的半径 3 cm、斜高 5 cm。求它的总表面积（曲面加底面）。
- 挑战一个球体的体积是 36π cm³。求它的半径与表面积。
- 错题重练（错题重练）有同学认为同底同高的圆柱与圆锥体积相等。半径 3 cm、高 6 cm 时，两者体积各是多少？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 表面积 = 4 × π × 3² = 36π ≈ 113.097 cm²。 | 表面积是四乘圆周率乘半径平方，次方是二不是三。 |
| 2 | 曲面面积 = 2 × π × 7 × 2 = 28π ≈ 87.965 cm²。 | 曲面面积只是侧面那一圈，等于底面圆周乘高。 |
| 3 | 体积 = 1/3 × 36 × 5 = 60 cm³。 | 锥体体积是底面积乘高的三分之一，底面积先算好。 |
| 4 | 高 = √(13² − 5²) = 12 cm；体积 = 1/3 × π × 25 × 12 = 100π ≈ 314.159 cm³。 | 已知斜高求高要用减法开方，再用高计体积，不可以用斜高代替高。 |
| 5 | 体积 = 2/3 × π × 6³ = 144π ≈ 452.389 cm³。 | 半球是整球的二分一，所以三分之四变成三分之二。 |
| 6 | 体积 = π × 2² × 50 = 200π ≈ 628.319 cm³。 | 水管是空心圆柱，题目问的是管内空间，照用圆柱体积公式。 |
| 7 | 边长比 = √9 : √25 = 3 : 5；体积比 = 27 : 125。 | 由面积比开方得边长比，再由边长比立方得体积比。 |
| 8 | 总表面积 = π × 3 × 5 + π × 3² = 15π + 9π = 24π ≈ 75.398 cm²。 | 圆锥只有一个底面，总表面积是曲面面积加一个圆。 |
| 9 | 4/3 π r³ = 36π，得 r³ = 27，r = 3 cm；表面积 = 4π × 9 = 36π ≈ 113.097 cm²。 | 先把 π 约去，再开三次方得半径，最后代入表面积公式。 |
| 10 | 圆柱 54π ≈ 169.646 cm³，圆锥 18π ≈ 56.549 cm³，圆锥是圆柱的三分之一。 | 锥体比柱体少一个三分之一的因子，所以体积相差三倍。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
做立体图形的度量题，先把题目讲的立体画出来，并在图上标明半径、高与斜高三个量。锥体的体积永远是相同底面相同高度的柱体的三分之一，所以公式前面那个三分之一不可以漏。球体的体积是三分之四乘圆周率乘半径三次方，表面积是四乘圆周率乘半径二次方，两条公式只差一个次方与一个系数，抄的时候要分辨清楚。圆锥的展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆周，所以扇形角等于三百六十度乘半径再除斜高。题目讲到两个立体相似时，面积比是边长比的平方，体积比是边长比的立方，先求出边长比，再平方或立方，就不会把两个比例调乱。导师登记 →
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