DSE 数学｜立体图形度量备课指引（导师用）｜圆锥展开图、体积三分之一与相似比 k²／k³

2026-11-05

学生背得出公式，却讲不出斜高与高的分别，题目一给斜高就代错。这一堂由一张展开图开始，把曲面面积、体积与相似比串成一条线。

本堂目标　学生能够：① 由圆锥展开图（扇形）算出曲面面积，并讲出扇形半径等于斜高 13 而非高 12；② 用“同底同高柱体的三分之一”解释锥体体积，算出 314.2 cm³；③ 用相似比 k 讲出表面积比 k²、体积比 k³，并在 k = 3 时写出 9 与 27。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
圆的面积与周长	半径 5 cm 的圆，面积与周长各是多少	78.5 cm² 与 31.4 cm
毕氏定理	直角边 5 与 12，斜边多少	13
单位换算	1 m³ 等于多少 cm³	1,000,000

02　课堂流程（45 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–6 分	斜高 vs 高	同一圆锥画高与斜高，问展开后哪条变成半径	指出扇形半径
6–18 分	展开图求曲面面积	r = 5、l = 13，弧长 31.4，扇形角 138.5°	自己算曲面面积
18–30 分	锥体体积	倒水示范：三个圆锥装满一个同底同高圆柱	算出 314.2 cm³
30–40 分	相似立体	相似比 3 → 面积 ×9、体积 ×27	两人一组讲理由
40–45 分	排水法与单位	水位升 1.2 cm、瓶半径 5 cm，石头体积多少	独立完成

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：先分清楚斜高与高

圆锥的高 12 cm 是由顶点垂直落到底心的线；斜高 13 cm 是顶点到底圆周上任何一点。剪开侧面摊平，得到的扇形半径就是斜高，不是高。
用 r = 5、h = 12 验：5² + 12² = 25 + 144 = 169，开方得 13，与斜高一致。若题目只给 r 与 h，第一步永远是先算斜高。

要学生做：在图上把高画成虚线、斜高画成实线，并写出两者的长度，才准开始代公式。

第二幕：曲面面积由弧长而来

展开后的扇形弧长必须等于底圆周 31.4 cm，所以扇形角 = 弧长 ÷ 半径 = 31.4 ÷ 13 = 2.417 弧度，即 138.5°。
扇形面积 = ½ × 弧长 × 半径 = ½ × 31.4 × 13 = 204.2 cm²，正是 πrl。加底圆 78.5 cm²，总表面积 282.7 cm²。

要学生讲：为什么弧长一定等于底圆周；如果不等，代表展开图画错了。

第三幕：体积：三分之一是倒出来的

同底同高的圆柱体积是 942.5 cm³，用三个圆锥装水刚刚装满，所以圆锥是三分之一，314.2 cm³。这个实验要学生自己做一次，公式才不会记反。
相似立体：相似比 k = 3 的两个圆锥，长度全乘 3，面积乘 3² = 9，体积乘 3³ = 27。理由：面积是两个长度相乘，体积是三个长度相乘。

要学生做：把 k = 3 的面积比与体积比写在公式旁，并用“两个长度／三个长度”讲一次。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
展开图与曲面面积	给 r 与 h，求曲面面积或总表面积	先算斜高 l，再 πrl，需要全面积才加 πr²	斜高一定大于高
锥体与柱体体积	单一或复合立体求体积	柱体底面积 × 高，锥体再除 3	除 3 只限锥体
相似立体比例	已知相似比求面积比或体积比	面积 k²、体积 k³，反推要开方或开立方	k 是长度比，不是体积比
排水法与单位	物件入水后水位上升，求体积	上升体积 = 底面积 × 升幅；先统一单位	1 m³ = 10⁶ cm³

合理性检查（一定要教）：合理性检查：斜高 13 大于高 12，不可能相反；曲面面积 204.2 大于底圆 78.5，总表面积 282.7 是两者之和；相似比 3 时面积 ×9、体积 ×27，符合 k² 与 k³；2500 mL 即 2500 cm³，单位换算后数值不会突然变大三个量级。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
展开图	圆锥 r = 5 cm、h = 12 cm，求曲面面积与总表面积	先写斜高，再代 πrl
体积	同一个圆锥的体积，答案取一位小数	底面积 × 高 ÷ 3
相似立体	两个相似圆锥体积比 27 : 8，求表面积比	先开立方得 k，再平方
排水法	半径 5 cm 的圆柱瓶，放入石头后水位升 1.2 cm，求石头体积	πr² × 升幅，取一位小数

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
把高当斜高代入 πrl	直接写 π × 5 × 12	“扇形半径系斜高，不系高；高在立体里面，展开之后已经消失。”
锥体照柱体计，忘记除 3	答 942.5 cm³	“三个圆锥先装满一个圆柱，你𠮶个答案系三个这么多。”
相似比直接当体积比	k = 3 就答体积比 3 : 1	“长度乘 3，体积三个长度一齐乘，所以系 27。”
单位未统一就代入	cm 与 m 混在同一条式	“同一条式只可以有一种单位，先全部换成 cm 才开机。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

中学数学章节索引　全科章节一览
备课指引总索引　其他科目的同类章节
本章重做　重做展开图与排水法各两题，每步写出处

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
圆锥展开后扇形半径是边条	斜高 13 cm，不是高 12 cm	答“高”＝回到第一幕
同底同高锥体是柱体几分之几	三分之一	答“一半”＝重讲第三幕
相似比 3 的体积比	27 : 1	答“3 : 1”＝重讲第三幕

09　导师常问

斜高一定要用毕氏定理算？

若题目直接给斜高就不用；只给 r 与 h 时，斜高是唯一需要先算的中间量，占分通常就在这一步。

为什么表面积用 k²、体积用 k³？

面积是两个方向的长度相乘，体积是三个方向；每个方向都乘 k，所以分别是 k² 与 k³。

复合立体怎样拆？

先找可分的柱、锥、球，逐件算再加减；重叠部分要扣，不要重复计。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。