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中四数学 立体图形度量：第三份（挑战）
中四数学 立体图形度量：第三份（挑战）
第 3 份（挑战）十题立体图形度量练习，附答案与一句解说。
直接答案 适用程度：中四数学；题型：体积、表面积、圆锥展开图、相似立体比例。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 20 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中四数学 立体图形度量 |
| 适用年级 | 中四 |
02 题目（10 题）
- 基础一个立体放大 1.5 倍后与原立体相似。求体积放大的倍数。
- 基础圆锥的半径 4 cm、斜高 9 cm。它的展开图扇形的圆心角是多少？
- 基础一个复合立体由半径 3 cm、高 8 cm 的圆柱，上面加一个同半径的半球组成。求总体积。
- 进阶一个四角锥的底面是 5 cm × 4 cm 的长方形，体积 60 cm³。求它的高。
- 进阶球体的半径加倍后，表面积变成原来的几倍？体积变成原来的几倍？
- 进阶正方体的棱长 6 cm。求它最长的一条对角线（由一个顶点到对面的顶点）。
- 挑战圆锥的体积是 96π cm³、高 8 cm。求它的半径、斜高与曲面面积。
- 挑战两个相似圆柱的体积比是 8 : 125。求它们的表面积比。
- 挑战半径 3 cm、高 4 cm 的圆柱装满水，全部倒入半径 3 cm、高 12 cm 的圆锥。需要倒几次才满？
- 错题重练（错题重练）有同学把 3 : 5 这个边长比直接当成体积比。同一对相似立体的表面积比与体积比实际是多少？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 体积倍数 = 1.5³ = 3.375 倍。 | 长度放大 k 倍，体积就放大 k 的三次方倍。 |
| 2 | 扇形角 = 360° × 4 ÷ 9 ≈ 160°。 | 扇形角与半径成正比、与斜高成反比。 |
| 3 | 圆柱 72π 加半球 18π，合共 90π ≈ 282.743 cm³。 | 复合立体分开两部分计，再把两个体积相加。 |
| 4 | 1/3 × 20 × h = 60，得 h = 9 cm。 | 由体积反求高，先把三分之一与底面积移去另一边。 |
| 5 | 表面积 2² = 4 倍（由 100 cm² 增至 400 cm²）；体积 2³ = 8 倍。 | 半径是长度，面积按平方放大、体积按立方放大。 |
| 6 | 对角线 = 6√3 ≈ 10.392 cm。 | 立体对角线是边长乘根号三，平面对角线才用根号二。 |
| 7 | r² = 96 × 3 ÷ 8 = 36，r = 6 cm；斜高 = √(6² + 8²) = 10 cm；曲面面积 = 60π ≈ 188.496 cm²。 | 由体积反求半径，再开方求斜高，最后代入 πrl。 |
| 8 | 边长比 = ∛8 : ∛125 = 2 : 5；表面积比 = 4 : 25。 | 由体积比开三次方得边长比，再平方得表面积比。 |
| 9 | 圆柱体积 36π，圆锥体积 36π，所以 1 次就刚好满。 | 先分别算出两个体积再相除，不要凭高度比例猜。 |
| 10 | 表面积比 = 9 : 25，体积比 = 27 : 125，两者都不等于 3 : 5。 | 边长比要平方才是面积比，要立方才是体积比。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
做立体图形的度量题，先把题目讲的立体画出来，并在图上标明半径、高与斜高三个量。锥体的体积永远是相同底面相同高度的柱体的三分之一，所以公式前面那个三分之一不可以漏。球体的体积是三分之四乘圆周率乘半径三次方，表面积是四乘圆周率乘半径二次方，两条公式只差一个次方与一个系数，抄的时候要分辨清楚。圆锥的展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆周，所以扇形角等于三百六十度乘半径再除斜高。题目讲到两个立体相似时，面积比是边长比的平方，体积比是边长比的立方，先求出边长比，再平方或立方，就不会把两个比例调乱。导师登记 →
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