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中四数学 二次方程与判别式：第三份（挑战）
中四数学 二次方程与判别式：第三份（挑战）
第 3 份（挑战）十题二次方程与判别式练习，附答案与一句解说。
直接答案 适用程度：中四数学；题型：因式分解法、公式法、判别式、两根和与两根积。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 20 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中四数学 二次方程与判别式 |
| 适用年级 | 中四 |
02 题目（10 题）
- 基础方程 2x² − 5x + k = 0 有实根，求 k 的范围。
- 基础方程 x² − (m + 1)x + 4 = 0 有重根，求 m。
- 基础解方程 3x² + 2x − 1 = 0。
- 进阶解方程 x² − 2x − 2 = 0，答案取三位小数。
- 进阶两根是 3 + √2 与 3 − √2，写出这个二次方程。
- 进阶方程 x² + px + 8 = 0 的两根相差 2，求 p 的可能值。
- 挑战方程 4x² + (k − 2)x + 1 = 0 有重根，求 k。
- 挑战已知 α、β 是 x² − 3x + 1 = 0 的两根，求 α² + β²。
- 挑战方程 2x² + kx + 8 = 0 没有实根，求 k 的范围。
- 错题重练错题重练：判别式小于零代表什么？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | k ≤ 3.125。 | 有实根要求判别式不小于零：25 − 8k ≥ 0，所以 k 最大是 25 除 8 得 3.125。 |
| 2 | m = 3 或 m = -5。 | 判别式为零：(m + 1)² = 16，所以 m + 1 是正负 4。 |
| 3 | x = 1/3 或 x = -1。 | 判别式 4 + 12 得 16，开方为 4，两根是 1/3 和 −1。 |
| 4 | x = 2.732 或 x = -0.732。 | 判别式 4 + 8 得 12，开方约 3.464，两根是 1 加减 1.732。 |
| 5 | x² − 6x + 7 = 0。 | 两根和是 6，两根积是 9 − 2 得 7，所以方程是 x² − 6x + 7 = 0。 |
| 6 | p = −6 或 p = 6。 | 两根积 8、相差 2，两根是 2 与 4 或 −2 与 −4，和分别是 6 与 −6。 |
| 7 | k = 6 或 k = -2。 | 判别式为零：(k − 2)² = 16，所以 k − 2 是正负 4。 |
| 8 | α² + β² = 7。 | 用两根和 3 与两根积 1：平方和等于 9 减 2，得 7。 |
| 9 | −8 < k < 8。 | 无实根要求判别式小于零：k² < 64，所以 k 在负 8 与 8 之间。 |
| 10 | 方程没有实根。 | 判别式为负数时曲线不与 x 轴相交，所以没有实根，也不要写成重根。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
做二次方程的题目，先在草稿写出 a、b、c 三个数字，再算判别式。判别式大于零有两个相异实根，等于零有一个重根，小于零则没有实根。求参数的题目，先把判别式写成含参数的式子，再按题目要求令它大于、等于或小于零。导师登记 →
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