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中四数学：一元二次方程（第二份）
中四数学：一元二次方程（第二份）
本分共 10 题，主题是公式法与判别式：先用公式解 x²－5x＋3＝0、2x²＋7x－4＝0，并算 x²－4x＋4＝0 的判别式得 0；进阶判断 x²＋x＋1＝0 无实根（判别式 －3）、由重根条件 k²＝36 得 k＝6、解 3x²－5x－2＝0。挑战部分把“和 11、积 30”化成 t²－11t＋30＝0 得 5 与 6，并配方 x²＋8x＋5＝(x＋4)²－11 求最小值；最后重练判别式为负仍写实根的错误。题目全部原创。
直接答案 先算判别式 b²－4ac：正数两根、零重根、负数无实根。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 25 |
| 难度分布 | 基础 4 · 进阶 3 · 挑战 2 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中四数学：一元二次方程 |
| 适用年级 | 基础 4 题、进阶 3 题、挑战 2 题、错题重练 1 题 |
02 题目（10 题）
- 基础用公式法解 x² － 5x ＋ 3 ＝ 0（答案用根式表示）。
- 基础解方程 2x² ＋ 7x － 4 ＝ 0。
- 基础求方程 x² － 4x ＋ 4 ＝ 0 的判别式，并说明它有几个相异实根。
- 基础解方程 x² ＋ 2x － 8 ＝ 0。
- 进阶判断方程 x² ＋ x ＋ 1 ＝ 0 有没有实根，并说明理由。
- 进阶若 x² ＋ kx ＋ 9 ＝ 0 有重根，求 k 的正值。
- 进阶解方程 3x² － 5x － 2 ＝ 0。
- 挑战两个数之和是 11，积是 30，求这两个数。
- 挑战把 x² ＋ 8x ＋ 5 配方成 (x ＋ p)² ＋ q 的形式，并写出它的最小值。
- 错题重练错题重练：有同学算得判别式为 －9，仍写出两个实根。正确结论是什么？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | x ＝ (5 ＋ √13)/2 或 x ＝ (5 － √13)/2（约 4.30 或 0.70） | 判别式 25－12＝13，代入公式 x＝(5±√13)/2。 |
| 2 | x ＝ 1/2 或 x ＝ －4 | 判别式 49＋32＝81，√81＝9，得 (－7±9)/4。 |
| 3 | 判别式 ＝ 0，只有一个相异实根 x ＝ 2（重根） | (－4)²－4×1×4＝0；判别式为零代表两根相同。 |
| 4 | x ＝ 2 或 x ＝ －4 | (x－2)(x＋4)＝0，2 与 －4 相加得 －2、相乘得 －8。 |
| 5 | 没有实根（判别式 ＝ －3 ＜ 0） | 判别式 1－4＝－3 小于零，所以方程无实根。 |
| 6 | k ＝ 6 | 重根即判别式为零：k²－36＝0，k＝±6，取正值 6。 |
| 7 | x ＝ 2 或 x ＝ －1/3 | 判别式 25＋24＝49，√49＝7，x＝(5±7)/6。 |
| 8 | 5 和 6 | 设两数为方程的两根，得 t²－11t＋30＝0，因式分解成 (t－5)(t－6)＝0。 |
| 9 | p ＝ 4、q ＝ －11，即 (x＋4)²－11，最小值 －11 | 取 8 的一半得 4，加减 4²＝16：x²＋8x＋5＝(x＋4)²－11；平方项最小为零。 |
| 10 | 判别式小于零，方程没有实根 | 判别式负代表曲线不与 x 轴相交，写出实根是错的。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。
