DSE 數學｜概率備課指引（導師用）｜古典概率、互斥、獨立事件

2026-10-27

概率題九成錯在「要加還是要乘」。一句話決定：同一件事的幾條路用加，連續幾步用乘。

本堂目標　學生能夠：① 用有利結果除以總結果求概率；② 判斷互斥事件並相加；③ 判斷獨立事件並相乘。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
分數運算	計 6/36 約簡	1/6
列舉	擲兩粒骰共有多少組合	36
補集	1 − P(A) 的意義	A 不發生的概率

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–10 分	古典概率	有利 ÷ 全部	三題
10–24 分	互斥事件	同時不可能發生就用加	兩題
24–40 分	獨立事件	互不影響就用乘	兩題
40–50 分	補集與至少	P(至少一次) = 1 − P(全部不是)	兩題
50–57 分	答題格式	寫樣本空間再算	改寫一題
57–60 分	離場檢查	三題收回即批	獨立完成

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：先寫樣本空間，再數有利結果

擲兩粒骰共有 36 個等可能結果；和為 7 有 (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) 共 6 個。
所以 P = 6/36 = 1/6。
樣本空間寫清楚，就不會漏。

要學生列：和為 5 的組合有幾個（4 個）。

第二幕：互斥：加；獨立：乘

抽一張牌，是紅心或黑桃：互斥，概率相加 = 13/52 + 13/52 = 1/2。
擲兩次硬幣都是正面：獨立，概率相乘 = 1/2 × 1/2 = 1/4。
判斷方法：兩件事能否同時發生？能——不是互斥。

要學生判斷：抽一張牌是紅色又是人面，是否互斥（不是，可以同時）。

第三幕：「至少一次」用補集最快

擲三次硬幣至少一次正面 = 1 − 全部反面 = 1 − 1/8 = 7/8。
直接加會重複計算，補集只有一種情況。

提醒：看到「至少」，先想補集。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
古典概率	擲兩粒骰和為 7	6 ÷ 36	1/6
互斥相加	紅心或黑桃	13/52 + 13/52	1/2
獨立相乘	兩次硬幣都正	1/2 × 1/2	1/4
至少一次	擲三次至少一次正	1 − 1/8	7/8

合理性檢查（一定要教）：所有可能結果的概率總和必須為 1；若超過 1，表示有重複計算。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
擲兩粒骰，和為 5 的概率	1/9	4 ÷ 36
抽一張牌是紅色人面的概率	3/26	6 ÷ 52
擲四次硬幣至少一次反面	15/16	1 − 1/16

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
互斥與獨立混淆	把互斥事件相乘	能否同時發生先判斷。
漏數組合	和為 7 只數 3 個	要數有序對。
至少用直接加	重複計算	用補集。
忘記約簡	寫 6/36	約成 1/6。

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

中學數學章節索引　本頁三題作課後練習

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
擲兩粒骰和為 5 的概率	1/9	三題全對＝可進統計
抽到紅色人面的概率	3/26	錯一題＝下堂前重講樣本空間
擲四次至少一次反面	15/16	錯兩題以上＝回到第三幕

09　導師常問

要不要用樹狀圖？

多步實驗用樹狀圖最穩。

有放回與無放回？

無放回時分母要減 1。

概率與統計的關係？

概率是理論，統計由數據估計。

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配套練習：第一份（古典概率與相反事件） · 第二份（聯合事件與獨立事件） · 第三份（條件概率與計數） · 第四份（列表法與不放回抽球）