DSE 数学｜二次函数图像备课指引（导师用）｜配方法求顶点、判别式判断根数与四个常见错误

2026-11-05

学生见到 y 等于 x 平方减 6x 加 5 就叫他们列表打点，画足半页仍未找到顶点；又或者一见判别式是负数就慌。这一堂用配方法把顶点、对称轴与根的数目一次过读出来，再对照三条抛物线的图。

本堂目标　学生能够：①把 y 等于 x 平方减 6x 加 5 配方成顶点式，读出顶点 (3, -4) 与对称轴 x 等于 3；②用判别式 16 判断有两个相异实根，并由求根公式得出 1 与 5；③由 a 的正负判断开口方向，由判别式判断图像与 x 轴的交点数，并解释 y 等于负 2x 平方加 8x 减 3 的顶点为何是最高点。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
完全平方	x 平方加 6x 加 9 等于什么？	(x 加 3) 的平方，能即时写出
展开与因式分解	把 (x 减 3) 平方展开	x 平方减 6x 加 9，符号不出错
求根公式	b 平方减 4ac 叫什么？	判别式，并且记得公式里是负 b 加减根号判别式

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–6 分钟	先备快检	抽问完全平方、展开、判别式名称	口头答，错的写在黑板上
6–24 分钟	第一幕：配方法	逐行示范把三项式配成顶点式	跟做一次并核对符号
24–38 分钟	第二幕：判别式与根	由判别式 16 推到两个实根	计算判别式并判定根数
38–50 分钟	第三幕：开口与变换	比较 a 为正与 a 为负两条抛物线	由顶点式讲出平移与反射
50–56 分钟	题型演练	四类题各一，限时六分钟	独立完成后交换批改
56–60 分钟	离场检查	收回三题即场对答	闭书作答

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：第一幕：配方不是魔术，是把三项式挤成一个平方加常数

由 y 等于 x 平方减 6x 加 5 开始。第一步抽起 x 的系数一半：负 6 的一半是负 3；第二步写成 (x 减 3) 平方，展开会多出 9，所以要在后面减 9 补回；第三步整理成 (x 减 3) 平方减 4。全程只做三件事：取一半、平方、补回。
写完即刻问“顶点在哪”。学生会答 (3, 4) 或者 (负 3, 负 4)，因为符号与正负混淆。要他们记住顶点式的长相：y 等于 a 乘 (x 减 h) 平方加 k，顶点就是 (h, k)，所以括号内是减 3，h 就是正 3，后面是减 4，k 就是负 4，顶点 (3, -4)，对称轴是 x 等于 3。
再讲一个检查方法：把 x 等于 3 代回原式，得 9 减 18 加 5 等于负 4，与 k 相同，这个“代回原式”的动作可以让学生自己验证，不必靠我。常见误解框：配方时只加不减，令整条式改变了值；加几多就要减几多，这是等值变形。

要求学生复述：取一半、平方、补回；顶点式括号内减 h，后面加 k。

第二幕：第二幕：判别式决定图像与 x 轴有几个交点

把 a 等于 1、b 等于负 6、c 等于 5 代入 b 平方减 4ac：36 减 20 得 16。判别式大于零，所以有两个相异实根；用求根公式得 1 与 5，与因式分解 (x 减 1)(x 减 5) 的结果一致，两条路要互相核对。
再做两个对照：y 等于负 2x 平方加 8x 减 3，判别式是 64 减 24 等于 40，仍大于零，两个实根；y 等于 x 平方加 2x 加 5，判别式是 4 减 20 等于 -16，小于零，没有实根，图像不碰 x 轴。三条放埋一齐，学生就看见判别式不是算术练习，而是“图与 x 轴的关系”的指标。
顺手讲根与系数的关系：两根之和是负 b 除 a 等于 6，两根之积是 c 除 a 等于 5，用 1 加 5 与 1 乘 5 即场核对，这一招在无法分解时特别好用。

要求学生复述：判别式大于零两点、等于零一点、小于零无点。

第三幕：第三幕：a 管开口，判别式管交点，顶点管最高最低

把三条式并排：y 等于 (x 减 3) 平方减 4，a 是正 1，开口向上，顶点 (3, -4) 是最低点；y 等于负 2 乘 (x 减 2) 平方加 5，a 是负 2，开口向下，顶点 (2, 5) 是最高点；y 等于 (x 加 1) 平方加 4，顶点 (-1, 4)，整条曲线在 x 轴上方，所以无实根。三条线各管一件事，学生一定要分清楚，否则所有题目都会混在一起。
再讲变换：由 y 等于 x 平方出发，向右 3 是减 3、向上 4 是加 4，所以 y 等于 (x 减 3) 平方减 4 的图是原图向右 3、向下 4；a 由 1 变负 2，就是反射加纵向拉伸两倍。叫学生用“先平移后拉伸”的次序讲一次，因为次序调换答案会不同。
收尾问一题“若判别式是零，图像长什么样”，答“只有一个交点，顶点刚好在 x 轴上”，这一题同时考验顶点与判别式两个概念，适合做离场检查。

要求学生复述：a 决定开口、判别式决定交点数、顶点式直接读出最高最低点。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
配方法	把 y 等于 x 平方减 6x 加 5 写成顶点式	① 取 x 系数一半 ② 写成平方 ③ 补回常数	y 等于 (x 减 3) 平方减 4，顶点 (3, -4)
判别式判断根数	判别式 16 代表什么	① 算 b 平方减 4ac ② 与零比较 ③ 说出交点数	大于零，两个相异实根，即两个交点
求根	解 x 平方减 6x 加 5 等于零	① 因式分解或代入公式 ② 核对两根之和 ③ 写出答案	x 等于 1 或 5
图像变换	由 y 等于 x 平方变成 y 等于负 2(x 减 2) 平方加 5	① 看 h 与 k 的平移 ② 看 a 的反射与拉伸 ③ 写出顶点	右移 2、上移 5、反射并纵向拉伸两倍，顶点 (2, 5)

合理性检查（一定要教）：合理性检查：顶点的 y 值一定等于把 x 等于 3 代回原式的结果，两条路要相同（都得 -4）；两根之和要等于负 b 除 a（6），两根之积要等于 c 除 a（5），不对就是符号错。判别式与交点数必须一致：16 大于零对应两点、-16 小于零对应零点，若学生写“负判别式有两根”就是公式记反。另外开口方向只看 a：a 为正一定向上，与 b、c 无关，这一条可以用来快速排除错误选项。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
把 y 等于 x 平方减 6x 加 5 写成顶点式，并写出顶点与对称轴。	y 等于 (x 减 3) 平方减 4，顶点 (3, -4)，对称轴 x 等于 3	有无补回常数、顶点符号是否正确
求 y 等于 x 平方加 2x 加 5 的判别式，并说出图像与 x 轴的交点数。	判别式 -16，小于零，没有交点	有无把负判别式误判为两根
写出 y 等于负 2x 平方加 8x 减 3 的顶点，并说明它是最低点还是最高点。	顶点 (2, 5)，a 为负所以开口向下，是最高点	有无用 a 的正负判断而不是靠图形记忆

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
配方只加不减	x 平方减 6x 写成 (x 减 3) 平方，后面的 5 没有处理	展开会多出 9，你要减返 9，不然整条式不再等值。
顶点符号倒转	由 (x 减 3) 平方减 4 读出顶点 (负 3, 4)	括号内减几多，h 就系正几多；后面的数连符号一齐读。
判别式与根数挂错	判别式 -16 仍答两个实根	判别式负数代表图像不碰 x 轴，实根系零个，不系两个。
开口方向看常数	见 c 是正数就说开口向上	开口方向只由 a 决定，c 只影响与 y 轴的交点。

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

本章重做　重做练习三题（第 1–4 题），每题画出对称轴并标明顶点
数学科章节索引　拣“二次方程”一章，做卷内第 2 题并用判别式判断根数
自制对照表　把 a 为正、a 为负与三种判别式组合成的六种图形各画一个小图

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
y 等于 (x 减 3) 平方减 4 的顶点	(3, -4)	答错即重讲第一幕
判别式 -16 代表几个实根	零个，图像不碰 x 轴	答两个即重讲第二幕
a 为负时抛物线的顶点是什么	最高点	答最低点即重讲第三幕

09　导师常问

为何要学配方法，直接画图不行吗？

列表打点只能估，配方一次给出精确顶点与对称轴，遇到参数题更必要。

判别式等于零时有几个根？

一个重根，图像与 x 轴只接触一点，顶点就在 x 轴上。

顶点式与一般式哪个好？

求顶点、最大值用顶点式；求 y 轴截距、判别式用一般式，两者要会互换。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。