DSE 數學｜二次函數圖像備課指引（導師用）｜配方法求頂點、判別式判斷根數與四個常見錯誤

2026-11-05

學生見到 y 等於 x 平方減 6x 加 5 就叫他們列表打點，畫足半頁仍未找到頂點；又或者一見判別式是負數就慌。這一堂用配方法把頂點、對稱軸與根的數目一次過讀出來，再對照三條拋物線的圖。

本堂目標　學生能夠：①把 y 等於 x 平方減 6x 加 5 配方成頂點式，讀出頂點 (3, -4) 與對稱軸 x 等於 3；②用判別式 16 判斷有兩個相異實根，並由求根公式得出 1 與 5；③由 a 的正負判斷開口方向，由判別式判斷圖像與 x 軸的交點數，並解釋 y 等於負 2x 平方加 8x 減 3 的頂點為何是最高點。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
完全平方	x 平方加 6x 加 9 等於什麼？	(x 加 3) 的平方，能即時寫出
展開與因式分解	把 (x 減 3) 平方展開	x 平方減 6x 加 9，符號不出錯
求根公式	b 平方減 4ac 叫什麼？	判別式，並且記得公式裡是負 b 加減根號判別式

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–6 分鐘	先備快檢	抽問完全平方、展開、判別式名稱	口頭答，錯的寫在黑板上
6–24 分鐘	第一幕：配方法	逐行示範把三項式配成頂點式	跟做一次並核對符號
24–38 分鐘	第二幕：判別式與根	由判別式 16 推到兩個實根	計算判別式並判定根數
38–50 分鐘	第三幕：開口與變換	比較 a 為正與 a 為負兩條拋物線	由頂點式講出平移與反射
50–56 分鐘	題型演練	四類題各一，限時六分鐘	獨立完成後交換批改
56–60 分鐘	離場檢查	收回三題即場對答	閉書作答

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：第一幕：配方不是魔術，是把三項式擠成一個平方加常數

由 y 等於 x 平方減 6x 加 5 開始。第一步抽起 x 的係數一半：負 6 的一半是負 3；第二步寫成 (x 減 3) 平方，展開會多出 9，所以要在後面減 9 補回；第三步整理成 (x 減 3) 平方減 4。全程只做三件事：取一半、平方、補回。
寫完即刻問「頂點在哪」。學生會答 (3, 4) 或者 (負 3, 負 4)，因為符號與正負混淆。要他們記住頂點式的長相：y 等於 a 乘 (x 減 h) 平方加 k，頂點就是 (h, k)，所以括號內是減 3，h 就是正 3，後面是減 4，k 就是負 4，頂點 (3, -4)，對稱軸是 x 等於 3。
再講一個檢查方法：把 x 等於 3 代回原式，得 9 減 18 加 5 等於負 4，與 k 相同，這個「代回原式」的動作可以讓學生自己驗證，不必靠我。常見誤解框：配方時只加不减，令整條式改變了值；加幾多就要減幾多，這是等值變形。

要求學生複述：取一半、平方、補回；頂點式括號內減 h，後面加 k。

第二幕：第二幕：判別式決定圖像與 x 軸有幾個交點

把 a 等於 1、b 等於負 6、c 等於 5 代入 b 平方減 4ac：36 減 20 得 16。判別式大於零，所以有兩個相異實根；用求根公式得 1 與 5，與因式分解 (x 減 1)(x 減 5) 的結果一致，兩條路要互相核對。
再做兩個對照：y 等於負 2x 平方加 8x 減 3，判別式是 64 減 24 等於 40，仍大於零，兩個實根；y 等於 x 平方加 2x 加 5，判別式是 4 減 20 等於 -16，小於零，沒有實根，圖像不碰 x 軸。三條放埋一齊，學生就看見判別式不是算術練習，而是「圖與 x 軸的關係」的指標。
順手講根與係數的關係：兩根之和是負 b 除 a 等於 6，兩根之積是 c 除 a 等於 5，用 1 加 5 與 1 乘 5 即場核對，這一招在無法分解時特別好用。

要求學生複述：判別式大於零兩點、等於零一點、小於零無點。

第三幕：第三幕：a 管開口，判別式管交點，頂點管最高最低

把三條式並排：y 等於 (x 減 3) 平方減 4，a 是正 1，開口向上，頂點 (3, -4) 是最低點；y 等於負 2 乘 (x 減 2) 平方加 5，a 是負 2，開口向下，頂點 (2, 5) 是最高點；y 等於 (x 加 1) 平方加 4，頂點 (-1, 4)，整條曲線在 x 軸上方，所以無實根。三條線各管一件事，學生一定要分清楚，否則所有題目都會混在一起。
再講變換：由 y 等於 x 平方出發，向右 3 是減 3、向上 4 是加 4，所以 y 等於 (x 減 3) 平方減 4 的圖是原圖向右 3、向下 4；a 由 1 變負 2，就是反射加縱向拉伸兩倍。叫學生用「先平移後拉伸」的次序講一次，因為次序調換答案會不同。
收尾問一題「若判別式是零，圖像長什麼樣」，答「只有一個交點，頂點剛好在 x 軸上」，這一題同時考驗頂點與判別式兩個概念，適合做離場檢查。

要求學生複述：a 決定開口、判別式決定交點數、頂點式直接讀出最高最低點。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
配方法	把 y 等於 x 平方減 6x 加 5 寫成頂點式	① 取 x 係數一半 ② 寫成平方 ③ 補回常數	y 等於 (x 減 3) 平方減 4，頂點 (3, -4)
判別式判斷根數	判別式 16 代表什麼	① 算 b 平方減 4ac ② 與零比較 ③ 說出交點數	大於零，兩個相異實根，即兩個交點
求根	解 x 平方減 6x 加 5 等於零	① 因式分解或代入公式 ② 核對兩根之和 ③ 寫出答案	x 等於 1 或 5
圖像變換	由 y 等於 x 平方變成 y 等於負 2(x 減 2) 平方加 5	① 看 h 與 k 的平移 ② 看 a 的反射與拉伸 ③ 寫出頂點	右移 2、上移 5、反射並縱向拉伸兩倍，頂點 (2, 5)

合理性檢查（一定要教）：合理性檢查：頂點的 y 值一定等於把 x 等於 3 代回原式的結果，兩條路要相同（都得 -4）；兩根之和要等於負 b 除 a（6），兩根之積要等於 c 除 a（5），不對就是符號錯。判別式與交點數必須一致：16 大於零對應兩點、-16 小於零對應零點，若學生寫「負判別式有兩根」就是公式記反。另外開口方向只看 a：a 為正一定向上，與 b、c 無關，這一條可以用來快速排除錯誤選項。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
把 y 等於 x 平方減 6x 加 5 寫成頂點式，並寫出頂點與對稱軸。	y 等於 (x 減 3) 平方減 4，頂點 (3, -4)，對稱軸 x 等於 3	有無補回常數、頂點符號是否正確
求 y 等於 x 平方加 2x 加 5 的判別式，並說出圖像與 x 軸的交點數。	判別式 -16，小於零，沒有交點	有無把負判別式誤判為兩根
寫出 y 等於負 2x 平方加 8x 減 3 的頂點，並說明它是最低點還是最高點。	頂點 (2, 5)，a 為負所以開口向下，是最高點	有無用 a 的正負判斷而不是靠圖形記憶

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
配方只加不减	x 平方減 6x 寫成 (x 減 3) 平方，後面的 5 沒有處理	展開會多出 9，你要減返 9，唔然整條式唔再等值。
頂點符號倒轉	由 (x 減 3) 平方減 4 讀出頂點 (負 3, 4)	括號內減幾多，h 就係正幾多；後面嘅數連符號一齊讀。
判別式與根數掛錯	判別式 -16 仍答兩個實根	判別式負數代表圖像唔碰 x 軸，實根係零個，唔係兩個。
開口方向看常數	見 c 是正數就說開口向上	開口方向只由 a 決定，c 只影響與 y 軸的交點。

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

本章重做　重做練習三題（第 1–4 題），每題畫出對稱軸並標明頂點
數學科章節索引　揀「二次方程」一章，做卷內第 2 題並用判別式判斷根數
自製對照表　把 a 為正、a 為負與三種判別式組合成的六種圖形各畫一個小圖

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
y 等於 (x 減 3) 平方減 4 的頂點	(3, -4)	答錯即重講第一幕
判別式 -16 代表幾個實根	零個，圖像不碰 x 軸	答兩個即重講第二幕
a 為負時拋物線的頂點是什麼	最高點	答最低點即重講第三幕

09　導師常問

為何要學配方法，直接畫圖不行嗎？

列表打點只能估，配方一次給出精確頂點與對稱軸，遇到參數題更必要。

判別式等於零時有幾個根？

一個重根，圖像與 x 軸只接觸一點，頂點就在 x 軸上。

頂點式與一般式哪個好？

求頂點、最大值用頂點式；求 y 軸截距、判別式用一般式，兩者要會互換。

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本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。