中四数学　余式定理与因式定理：第三份（挑战）

第 3 份（挑战）十题余式定理与因式定理练习，附答案与一句解说。

直接答案　适用程度：中四数学；题型：求余式、判断因式、反求未知常数、长除法与因式分解。

01　本卷资料（做完才看答案）

基础设 P(x) = x³ + kx² − 4x + 4。已知 P(x) 除以 (x − 2) 的余式为 8，求 k。
基础设 P(x) = 2x³ + ax² + bx − 6。已知 (x − 1) 与 (x − 2) 都是因式，求 a 与 b。
基础设 P(x) = x³ − 3x² − 10x + 24。已知 x = 2 是 P(x) = 0 的根，将 P(x) 完全因式分解。
进阶设 P(x) = x³ + ax² + bx + 8。已知 (x − 1) 与 (x + 2) 都是因式，将 P(x) 完全因式分解。
进阶设 P(x) = 2x³ + px² − 8x + 3。已知 (2x − 1) 是因式，求 p，并将 P(x) 完全因式分解。
进阶设 P(x) = x⁴ + ax³ − 2x + 5。已知 P(x) 除以 (x + 1) 的余式为 10，求 a。
挑战设 P(x) = x³ + ax² + bx − 4。已知除以 (x − 2) 的余式为 2，除以 (x + 1) 的余式为 −4，求 a 与 b。
挑战设 P(x) = 2x³ − 5x² − 4x + 12。已知 x = 2 是重根，将 P(x) 完全因式分解。
挑战设多项式 P(x) 除以 (x − 1) 的余式为 5，除以 (x − 3) 的余式为 11。求 P(x) 除以 (x − 1)(x − 3) 的余式。
错题重练错题重练：学生要判断 (2x − 1) 是否 2x³ − x² − 8x + 4 的因式，于是代入 x = 1 得 P(1) = −3 就说不是因式。错在哪里？

题号	答案	一句解说
1	P(2) = 8 + 4k − 8 + 4 = 8，解得 k = 1。	先写出 P(2) 的完整式子，再与题目给的余式相等，最后才整理。
2	a = -9，b = 13。	P(1) = 0 得 a + b = 4，P(2) = 0 得 2a + b = −5，相减即得 a。
3	P(x) = (x − 2)(x − 4)(x + 3)。	根是 2 就有因式 (x − 2)，长除法得商式 x² − x − 12，再分解。
4	a = -3，b = -6，P(x) = (x − 1)(x − 4)(x + 2)。	由 P(1) = 0 与 P(−2) = 0 解出 a、b，再长除得到第三个因式。
5	p = 3，P(x) = (2x − 1)(x + 3)(x − 1)。	(2x − 1) 是因式就要用 P(1/2) = 0，之后商式为 x² + 2x − 3。
6	P(−1) = 1 − a + 2 + 5 = 10，解得 a = -2。	缺 x² 与 x⁴ 之后的项要当 0，逐项代入不要漏。
7	a = 0，b = -1。	两条方程 2a + b = −1 与 a − b = 1，相加即得 3a = 0。
8	P(x) = (x − 2)²(2x + 3)。	重根代表同一个因式出现两次：长除 (x − 2) 之后，商式仍以 2 为根。
9	余式为 3x + 2。	除以二次式时余式最高是线性，设 ax + b，用两个条件解 a、b。
10	应代入 x = 1/2，P(1/2) = 0，所以 (2x − 1) 是因式。	除式是 (ax − b) 就要代入 b/a；代入 1 只适用于 (x − 1)。

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