DSE 数学｜余式定理与因式定理备课指引（导师用）

DSE 数学｜余式定理与因式定理备课指引（导师用）｜代一个数，省一次长除法

2026-11-03

学生一见三次多项式就开始写长除法，写到第三行就错号。这一堂把“除以 x − a 的余数”变成“代入 a”，再做两次示范让他知道：长除法只是备用，代数才是主路。

本堂目标　学生能够：① 用 P(a) 求 P(x) 除以 (x − a) 的余数，x³ − 4x² + x + 6 除以 (x − 3) 余 0；② 用综合除法处理 2x³ + x² − 13x + 6 除以 (x − 2)，得商 2x² + 5x − 3；③ 由两个已知因式解未知系数，得 a = −4、b = 10 并补齐第三个因式 (x − 5)；④ 讲出余式定理只适用于一次除式，除以 (x − 1)(x + 2) 时要分别代入而不是除一次。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
多项式代入	P(x) = x² − 3x + 2，P(4) 等于几多？	16 − 12 + 2 = 6
因式分解	x² − 5x + 6 分解成什么？	(x − 2)(x − 3)
除法	12x³ ÷ 3x 等于几多？	4x²
余数概念	17 除以 5 的商与余数？	商 3 余 2，即 17 = 5 × 3 + 2

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–8 分	开场冲突	问：x³ − 4x² + x + 6 除以 (x − 3)，不做长除法点算？	讲出“代 x = 3”就够
8–20 分	余式定理	示范 P(3) = 0 与 P(½) = 45/8 两个对比	分清“整除”与“有余数”
20–32 分	综合除法	把 2、1、−13、6 落表，除数写 2	写出商 2x² + 5x − 3
32–44 分	因式定理	由 P(2) = 0 反推 (x − 2) 是因式，再分解到底	三个根写齐 2、½、−3
44–54 分	未知系数	x³ + ax² − 7x + b 被 (x − 1) 与 (x + 2) 整除	解出 a = −4、b = 10
54–60 分	收尾	叫学生用第三个根 5 验算	写离场检查第一题

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：余式定理不是新公式，是除法的定义

P(x) = (x − a)Q(x) + R。除以一次式，余式一定是一个常数 R，不会有 x。代入 x = a，左边得 P(a)，右边 (a − a)Q(a) 变零，只剩 R。学生如果只背“代 a 就系余数”，遇到除式是 (2x − 1) 就会代 1 而不是 ½，所以一开始要把“令除式等于零的那个数”讲清楚：2x − 1 = 0 得 x = ½。

留在黑板的一句：余数是代入的结果，不是长除法的副产品。

第二幕：综合除法是省纸，不是新方法

把系数 2、1、−13、6 排好，左边写 2：第一粒直接落，2 × 2 = 4 加上 1 得 5，5 × 2 = 10 加上 −13 得 −3，−3 × 2 = −6 加上 6 得 0。最后一格是余数，前面几格是商 2x² + 5x − 3。要学生每次写完都检查次数：三次除一次，商一定是二次。

留在黑板的一句：写完商先数次数，次数对才计数值。

第三幕：两个因式等于两条方程

P(x) = x³ + ax² − 7x + b 被 (x − 1) 与 (x + 2) 整除，即 P(1) = 0 与 P(−2) = 0。代入得 a + b = 6 与 4a + b = −6，相减得 3a = −12，a = −4，b = 10。补齐后 P(x) = x³ − 4x² − 7x + 10 = (x − 1)(x + 2)(x − 5)，第三个根是 5，正好用来验算。

留在黑板的一句：每个因式送一条方程，两条方程解两个未知。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
求余数	x³ − 4x² + x + 6 除以 (x − 3) 的余数	① 令除式 = 0 得 x = 3 ② 代入 P(3) ③ 负数要加括号计	0（即整除）
求余数（除式有系数）	同上多项式除以 (2x − 1) 的余数	① 2x − 1 = 0 得 x = ½ ② 代入，注意 (½)³ = ⅛ ③ 通分	45/8 = 5.625
因式分解三次式	分解 2x³ + x² − 13x + 6	① 试 P(2) 得 0 ② 综合除法得商 2x² + 5x − 3 ③ 再分解商	(x − 2)(2x − 1)(x + 3)
未知系数	x³ + ax² − 7x + b 被 (x − 1) 及 (x + 2) 整除，求 a、b	① 两次代入得两条方程 ② 相减消 b ③ 回代验算第三个根	a = −4，b = 10

合理性检查（一定要教）：次数检查：三次式除以一次式，商一定是二次，余式一定是常数；如果商写成三次，就是漏了降次。数值检查：整除的题目 P(a) 一定得 0，计到 0.0001 之类多数是四舍五入而不是整除。分数代入时分子分母都要立方，½ 的立方是 ⅛ 不是 ½，这一格最多人错。未知系数解完要回代其中一条原方程，两条都成立才算完成。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
P(x) = 2x³ + x² − 13x + 6，求 P(2) 与 P(−3)	P(2) = 0，P(−3) = −54 + 9 + 39 + 6 = 0	两个都系 0 代表两个都系因式
分解 2x³ + x² − 13x + 6 的全部因式	(x − 2)(2x − 1)(x + 3)	用 x = ½ 验第二个括号
x³ + ax² − 7x + b 被 (x − 1)(x + 2) 整除，求 a + b	a = −4、b = 10，故 a + b = 6	题目问 a + b，不系各自

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
除式有系数时代错数	“2x − 1 即系 x = 1，所以代 P(1)”	“令除式等于零：2x − 1 = 0，x 系 ½。你代 1 求出嚟的系除以 (x − 1) 的余数。”
余式写成有 x	“余式系 3x + 1”	“除以一次式，余式只会是一个数。出现 x 代表你其实未除完，或者把商的一部分当成余式。”
忘记降次	“商系 2x³ + 5x − 3”	“三次除一次，商系二次。你的第一项应该系 2x²，看下次数先落笔。”
用余式定理处理二次除式	“除以 (x − 1)(x + 2)，我代 x = 1 就得余数 0”	“余式定理只管一次除式。二次除式的余式可以是一次式 ax + b，要设两个未知再代入两个值。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

数学科章节索引　先重温“二次方程与判别式”，再做卷内第 1、2 题
二次方程与判别式　做完第 3 题（已知一根求另一根），再做本科练习第 4 至 6 题
图像与多项式　选做：用图像解释为何 P(a) = 0 代表曲线与 x 轴相交

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
x³ − 4x² + x + 6 除以 (x − 3) 的余数	0	错：代了 x = −3
同上，除以 (2x − 1) 的余数	45/8	错：代了 x = 1
2x³ + x² − 13x + 6 的因式	(x − 2)(2x − 1)(x + 3)	错：只写 (x − 2) 就停
除以二次式的余式次数	最多一次（ax + b）	错：答“一定是常数”

09　导师常问

点解代 a 就等于余数？

因为 P(x) = (x − a)Q(x) + R，代 x = a 时前项变零，只剩 R。这不是技巧，是等式本身。

几时用长除法，几时用综合除法？

除式是一次式用综合除法最快；除式是二次或以上就要用长除法，因为综合除法只对一次除式成立。

未知系数的题目一定要两条方程？

两个未知就要两条方程，所以题目一定给你两个条件，例如两个因式、两个余数，或者一个因式加一个余数。

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