余弦定理的分母为何是 2bc？

因为求角 A 时，A 的两条邻边就是 b 与 c，公式由向量点积推来，分母必然是 2bc。

已知三边求面积，用哪条路最快？

海伦公式最快：s = (a + b + c) ÷ 2，面积 = √(s(s−a)(s−b)(s−c))，不必先求任何角。

已知两边及其中一边的对角，若该对边短于另一边但长过高 b sinA，就会出现两个可能的角。

因为两边夹成的三角形，对角线对的那个角是 180° 减夹角，cos 变号后减号就变加号。

中四数学正弦定理与余弦定理练习二（进阶）：十题反求与应用

十题转向反求角度、三边求面积与平行四边形对角线，并处理两解情况。

直接答案　第 01 至 03 题练正弦与余弦定理反求，第 04 至 06 题练面积、海伦公式与平行四边形，第 07 至 09 题练两解、先求第三角与 13-14-15 面积，第 10 题针对余弦定理符号写错。

基础三角形中 a = 10 cm、A = 45°、B = 60°。求 b。
基础三角形中 b = 9 cm、c = 5 cm、A = 120°。求 a。
基础三角形三边 a = 7 cm、b = 8 cm、c = 9 cm。求 A。
进阶三角形两边 8 cm 与 10 cm，面积 20 cm²。求夹角 C 的所有可能值。
进阶三角形三边 5 cm、6 cm、7 cm。求面积。
进阶平行四边形的两边是 6 cm 与 8 cm，夹角 60°。求较长的对角线。
挑战三角形中 a = 10 cm、b = 12 cm、A = 35°。问这个三角形有几个解？并求 B。
挑战三角形中 A = 30°、B = 105°、c = 8 cm。求 a。
挑战三角形三边 13 cm、14 cm、15 cm。求面积。
错题重练有同学把余弦定理写成 a² = b² + c² + 2bc cosA，代 b = 5、c = 7、A = 60° 得 a = 10.4 cm。错在哪里？正确是多少？

题号	答案	一句解说
1	12.2 cm	b = a sinB ÷ sinA = 10 × sin60° ÷ sin45° = 12.2 cm，两边都要配自己的对角。
2	12.3 cm	a² = 81 + 25 − 2 × 45 × cos120° = 106 + 45 = 151，a = 12.3 cm；钝角令减项变正。
3	48.2°	cosA = (64 + 81 − 49) ÷ (2 × 8 × 9) = 0.667，A = 48.2°；分母是 2bc 不是 2a。
4	30° 或 150°	sinC = 2 × 20 ÷ (8 × 10) = 0.5，所以 C = 30° 或 150°；两个都给出同样面积。
5	14.7 cm²	s = (5 + 6 + 7) ÷ 2 = 9，面积 = √(9 × 4 × 3 × 2) = 14.7 cm²。
6	12.2 cm	对角线 d² = 36 + 64 + 2 × 48 × cos60° = 148，d = 12.2 cm；平行四边形长对角线是加号。
7	两个解：B = 43.5° 或 136.5°	高 h = b sinA = 6.9 cm 小于 a = 10 cm，而 a 也小于 b，所以有两解：B = 43.5° 或 136.5°。
8	5.66 cm	C = 180° − 30° − 105° = 45°，再由 a = c sinA ÷ sinC = 8 × sin30° ÷ sin45° = 5.66 cm；先求第三角。
9	84 cm²	s = 21，面积 = √(21 × 8 × 7 × 6) = 84 cm²；用海伦公式比先求角快。
10	中间应是减号；正确 a = 6.24 cm	a² = 25 + 49 − 35 = 39，a = 6.24 cm；只有求平行四边形对角线时才用加号。

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