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中四数学 正弦定理与余弦定理练习三（挑战）：十题方位与仰角
中四数学 正弦定理与余弦定理练习三（挑战）：十题方位与仰角
十题把定理推到实际情境：方位角、船距、灯塔与山高，先画示意图再列式。
直接答案 第 01 至 03 题练方位角与直角合成，第 04 至 06 题练仰角两式相减与土地面积，第 07 至 09 题练海伦公式、对岸距离与两解，第 10 题针对方位角夹角算错。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 25 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中四数学 正弦定理与余弦定理 |
| 适用年级 | 中四 |
02 题目（10 题）
- 基础A 点向东行 8 km 到 B，再由 B 向北行 6 km 到 C。求 AC 的长度与由 A 望 C 的方位角。
- 基础两艘船由同一码头出发，一艘以 12 km/h 向方位 040° 航行，另一艘以 15 km/h 向方位 130° 航行。一小时后两船相距多少？
- 基础方位角 030° 与 150° 的两个方向，夹角是多少？
- 进阶在 A 点测得灯塔顶的仰角是 30°，向灯塔前行 50 m 后测得仰角 45°。求灯塔的高度。
- 进阶在 P 点测得山顶仰角 25°，沿水平方向向山行 120 m 到 Q，测得仰角 40°。求山高。
- 进阶一块三角形土地的两边是 50 m 与 70 m，夹角 65°。求它的面积。
- 挑战三角形土地的三边是 40 m、50 m、60 m。求面积。
- 挑战A、B 两点在岸边相距 200 m，C 在对岸。∠CAB = 65°、∠CBA = 48°。求 AC。
- 挑战三角形中 a = 9 cm、b = 12 cm、A = 35°。求 B 的所有可能值。
- 错题重练方位角 040° 与 100° 的两条路线，有同学把夹角当成 140°，理由是 180° − 40°。错在哪里？正确夹角是多少？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 10.0 km，方位 053.1° | 东西与南北互相垂直，AC = √(64 + 36) = 10.0 km；tanθ = 6 ÷ 8 得 36.9°，方位 = 90° − 36.9° = 53.1°。 |
| 2 | 19.2 km | 两方位夹角 = 130° − 40° = 90°，距离 = √(144 + 225) = 19.2 km。 |
| 3 | 120° | 两个方位角相减即可：150° − 30° = 120°；方位角一律由正北顺时针量，不能当成极坐标角。 |
| 4 | 68.30 m | 设塔高 h：h ÷ tan30° − h ÷ tan45° = 50，即 h(1.732 − 1) = 50，h = 68.30 m。 |
| 5 | 126 m | h(cot25° − cot40°) = 120，cot25° = 2.145、cot40° = 1.192，差 0.953，h = 126 m。 |
| 6 | 1 586 m² | 面积 = ½ × 50 × 70 × sin65° = 1 586 m²；用夹角正弦，不要用 180° 减夹角。 |
| 7 | 992 m² | s = 75，面积 = √(75 × 35 × 25 × 15) = 992 m²；三边已知用海伦公式最直接。 |
| 8 | 161 m | ∠ACB = 180° − 65° − 48° = 67°，AC = 200 × sin48° ÷ sin67° = 161 m。 |
| 9 | 49.9° 或 130.1° | sinB = 12 × sin35° ÷ 9 = 0.765，B = 49.9° 或 130.1°；因 b > a 且 b sinA = 6.9 cm 短过 a，两解都成立。 |
| 10 | 错在两个方位角直接相减即可；夹角是 60° | 两个方位角同样由正北顺时针量，夹角 = 100° − 40° = 60°；用 180° 减去其中一个方位角只适合求与正南或正北的补角。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。