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中四数学 正弦定理与余弦定理练习四（错题重练）：十个常错位
中四数学 正弦定理与余弦定理练习四（错题重练）：十个常错位
十题全部由最常错的步骤改写：正弦上下倒转、余弦定理符号、两解判断与方位角夹角。
直接答案 第 01 至 03 题重练正弦定理倒转、余弦定理减负数与面积公式，第 04 至 06 题重练反求角、两解与海伦公式，第 07 至 09 题重练方位角、仰角与平行四边形，第 10 题针对余弦定理分子次序。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 25 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中四数学 正弦定理与余弦定理 |
| 适用年级 | 中四 |
02 题目（10 题）
- 基础三角形 ABC 中 a = 8 cm、A = 40°、B = 60°，求 b。常见错法是写成 b = 8 sin40° ÷ sin60°。
- 基础两边长 6 cm 与 9 cm，夹角 110°，求第三边 c。
- 基础三角形两边 7 cm 与 10 cm，夹角 55°，求面积。
- 进阶三边 7 cm、8 cm、9 cm，求最大角。
- 进阶a = 9 cm、A = 35°、b = 12 cm，求 B 的所有可能值。
- 进阶三边 11 cm、13 cm、20 cm，用海伦公式求面积。
- 挑战由 P 点看，Q 在方位 060° 6 km 处，R 在方位 150° 8 km 处。求 QR 的距离。
- 挑战在 A 点测得塔顶仰角 28°，向塔走近 60 m 后仰角变成 45°。求塔高。
- 挑战平行四边形两邻边 8 cm 与 11 cm，夹角 65°，求较长的对角线。
- 错题重练有同学用余弦定理计 7 cm、8 cm、9 cm 的最大角，写成 cosC = (81 − 49 − 64) ÷ (2 × 7 × 8) = −0.286，答 106.6°。错在哪里？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 10.8 cm | 正弦定理 a ÷ sinA = b ÷ sinB，所以 b = a sinB ÷ sinA = 8 sin60° ÷ sin40° = 10.8 cm；把正弦上下倒转是第一步就错。 |
| 2 | 12.4 cm | c² = a² + b² − 2ab cosC = 36 + 81 − 2 × 6 × 9 × cos110° = 153.9，所以 c = 12.4 cm；cos110° 是负数，减负数等于加。 |
| 3 | 28.7 cm² | 面积 = ½ ab sinC = ½ × 7 × 10 × sin55° = 28.7 cm²；用 cos 代替 sin 是最常见的错。 |
| 4 | 73.4° | 最大角对最大边，cosC = (49 + 64 − 81) ÷ (2 × 7 × 8) = 0.286，C = 73.4°；分子次序写错就会得负数。 |
| 5 | 49.9° 或 130.1° | sinB = 12 sin35° ÷ 9 = 0.765，B = 49.9° 或 130.1°；因为 b sinA = 6.88 cm 小于 a = 9 cm，两个解都成立。 |
| 6 | 66.0 cm² | s = (11 + 13 + 20) ÷ 2 = 22，面积 = √(22 × 11 × 9 × 2) = √4356 = 66.0 cm²；漏了开方就会答 4 356。 |
| 7 | 10.0 km | 两方位相差 150° − 60° = 90°，所以 QR = √(36 + 64) = 10.0 km；用 180° 减其中一个方位角会得错夹角。 |
| 8 | 68.1 m | 设塔高 h，h ÷ tan28° − h ÷ tan45° = 60，即 h(1.881 − 1) = 60，得 h = 68.1 m；忘了相减就会把两个距离当成塔高。 |
| 9 | 16.1 cm | 长对角线 d² = 64 + 121 + 2 × 8 × 11 × cos65° = 259.4，d = 16.1 cm；短对角线才用减号，两条不要混淆。 |
| 10 | 错在分子次序：最大角对 9 cm，分子应是 81 − 49 − 64 之外还要加回，即 49 + 64 − 81 = 32，正确答案 73.4° | cosC = (a² + b² − c²) ÷ 2ab，被减的是对边 c 的平方，所以分子 = 49 + 64 − 81 = 32，C = 73.4°；把负号放错位置会把锐角算成钝角。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。