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中四数学 统计与离差练习二（进阶）：十题标准差、加权平均与离群值
中四数学 统计与离差练习二（进阶）：十题标准差、加权平均与离群值
十题进入离差的计算：次数表平均、标准差步骤、合并平均、1.5 倍四分位距与箱线图比较。
直接答案 第 01 至 03 题练次数表平均、标准差计算与十个数的四分位数，第 04 至 06 题练离群值上界、加入新值与合并平均，第 07 至 09 题练平移对标准差的影响、箱线图比较与中位数众数，第 10 题针对方差与标准差混淆。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 25 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中四数学 统计与离差 |
| 适用年级 | 中四 |
02 题目（10 题）
- 基础次数表：数值 0 出现 2 次、1 出现 5 次、2 出现 6 次、3 出现 2 次，求平均数。
- 基础求 2、4、6、8 的标准差。
- 基础求 1 至 10 这十个整数的下四分位数、上四分位数与四分位距。
- 进阶某组数据 Q1 = 12、Q3 = 20，用 1.5 × 四分位距的法则判断 35 是否离群值。
- 进阶六个数的平均数是 14，再加入一个 28 之后，新平均数是多少？
- 进阶甲组 10 人平均 60 分，乙组 15 人平均 70 分，两组合并后的平均分是多少？
- 挑战把一组数据每一项都加 5，标准差会怎样变？
- 挑战两个箱线图的中位数同为 60，甲的箱长 10，乙的箱长 25，哪一组数据较分散？
- 挑战求 12、15、15、18、20、22、25 的中位数与众数。
- 错题重练某组数据的方差是 16，有同学答标准差是 16，正确答案是多少？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 约 1.53 | 总次数 15，加权总和 = 0×2 + 1×5 + 2×6 + 3×2 = 23，平均数 = 23 ÷ 15 ≈ 1.53。 |
| 2 | 约 2.24 | 平均数是 5，偏差平方和 = 9 + 1 + 1 + 9 = 20，方差 = 20 ÷ 4 = 5，标准差 = √5 ≈ 2.24。 |
| 3 | Q1 = 3、Q3 = 8、四分位距 = 5 | 十个数分两半各五个，下半 1 至 5 的中位数是 3，上半 6 至 10 的中位数是 8，相减得 5。 |
| 4 | 是离群值（上界 32） | 四分位距 = 8，上界 = 20 + 1.5 × 8 = 32，35 超过 32，所以属于离群值。 |
| 5 | 16 | 原本总和 = 6 × 14 = 84，加 28 后总和 112，共七个数，112 ÷ 7 = 16。 |
| 6 | 66 分 | 合并平均要以人数加权：(10 × 60 + 15 × 70) ÷ 25 = 1 650 ÷ 25 = 66，不可以把 60 与 70 直接平均。 |
| 7 | 不变 | 每项同时加同一个数，所有偏差 (x − 平均) 完全没有改变，所以方差与标准差都不变。 |
| 8 | 乙组较分散 | 箱长就是四分位距，乙的 25 大于甲的 10，中位数相同但中间一半数据拉得更开，离差较大。 |
| 9 | 中位数 18、众数 15 | 七个数排序后中间第四个是 18；15 出现两次，是唯一重复的数值，所以众数是 15。 |
| 10 | 4 | 标准差是方差的平方根，√16 = 4；把方差直接当标准差会把离差夸大四倍。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。