中四數學｜統計備課指引（導師用）｜平均數、中位數、眾數與標準差

2026-11-01

學生一見「統計」就按計數機，但問到「邊個平均數最代表到數據」就答不出；這一堂要他們把「中心」與「散開程度」分開兩件事講。

本堂目標　學生能夠：① 由未分組數據計平均數、中位數、眾數，並講出各自何時最可靠；② 計標準差，並解釋它與「數據散唔散」的關係；③ 由分組頻數表用組中點估算平均數與標準差，講出這是估算而非精確值。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
平均數定義	總和 ÷ 個數	155 ÷ 8
平方與開方	計數機 √ 鍵	√25.984
頻數表	Σf = 總數	Σf = 20

02　課堂流程（50 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–10 分	三個平均數	數據 8 個	平均 19.375／中位 19.0／眾數 15
10–22 分	標準差	Σ(x−x̄)² = 207.875	s = 5.449
22–32 分	加一個極端值	加入 60 後平均 23.9	中位數較穩
32–44 分	分組數據估算	三組 Σf = 20	估算平均 16.0、標準差 7.0
44–48 分	比較兩組數據	同平均不同標準差	離散程度決定風險
48–50 分	離場檢查	三題收回即批	獨立完成

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：三個平均數，三種用途

數據：12, 15, 15, 18, 20, 22, 25, 28，共 8 個。平均數 = 155 ÷ 8 = 19.375；中位數是排好後第 4、5 個的平均 = (18+20)/2 = 19.0；眾數是出現最多的 15，出現兩次。
要學生比較：加入一個 60 之後，平均數升到 23.9（升 4.5），但中位數只由 19.0 升到 20。所以有極端值時，中位數較能代表「大部分人」。
講清一句：平均數用盡每個數值，所以最敏感；中位數只看位置，所以最穩；眾數只適用於有重複的數據。

要學生做：口頭答「班上有一位同學零分，用邊個平均數向家長講最公道」，並講理由。

第二幕：標準差：量「散唔散」

先講偏差：每個數減平均數，例如 12−19.375 = -7.375。偏差相加永遠等於 0，所以不能直接用，要把每個偏差平方：Σ(x−x̄)² = 207.875。母體標準差 = √(207.875/8) = 5.097；樣本標準差除以 7 得 5.449。
要學生明白兩點：① 標準差與原數據同單位，所以可直接比較；② 標準差細＝數據貼近平均，大＝分散，但標準差永遠不會負數（平方之後）。
比較練習：另一組數據平均一樣但標準差 7.097，問哪一組較「穩定」，答案就是標準差細那組。

要學生做：用計數機統計模式輸入同一組數據，核對 s = 5.449，並講出計數機用 n 定 n−1。

第三幕：分組數據：組中點代替真值

頻數表：0–10 分 4 人、10–20 分 10 人、20–30 分 6 人，Σf = 20。用組中點 5, 15, 25，Σfx = 320，估算平均 = 16.0；再算 Σf(x−x̄)² = 980，標準差 ≈ 7.0。
要講清這是估算：分組後我們已不知道每人的真實分數，只知道落在哪一格，所以組中點是假設「均勻分佈」的結果。連續數據的組界要用 0.5 修正（0–10 實際是 −0.5 至 9.5 這類），但 DSE 多以組中點法為主。
最後把三件事連起來：中心（平均）講「一般水平」，離散（標準差）講「差異有幾大」，兩者要一齊報才有意義。

要學生做：把 freq table 自行改一組數字重算，並講出為何答案會與真實平均不同。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
求三個平均數	8 個數據	先排序再取中位	19.375／19.0／15
求標準差	同一組數據	先平方偏差再開方	5.449
比較兩組	同平均不同標準差	比較標準差大小	5.097 vs 7.097
分組估算	Σf = 20	組中點 × 頻數	16.0

合理性檢查（一定要教）：標準差 5.097 一定要細過全距 16 的一半（8.0）才合理；平均數 19.375 必在最小值 12 與最大值 28 之間。分組估算的 16.0 也應落在 5 至 25 之間，若算出 40 就是用了組界而非組中點。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
數據 4, 6, 6, 8, 10，求平均數與標準差。	平均 6.8；s ≈ 2.28	是否先排序再平方偏差
同一組數據每個數加 3，標準差有何變化？	不變	加常數只移位置不改差距
每個數乘 2，標準差有何變化？	乘 2	乘常數會放大離散程度

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
用 n−1 與 n 混淆	題目要母體標準差卻除 n−1	「題目寫『這批數據』就用 n，寫『樣本』才用 n−1。」
未排序就取中位數	直接取第 4 個	「中位數係位置，唔排序就冇位置。」
分組用組界計	0–10 用 0 或 10	「組中點係 (0+10)/2 = 5，唔係邊界。」
標準差負數	開方前忘了平方	「平方之後冇負數，出負數就一定係漏咗平方。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

中學數學章節索引（二次方程、對數、三角、概率、積分、向量）　先做統計再做概率
中學備課指引總覽　全科索引

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
8 個數據平均 19.375，加一個 60 後平均多少？	23.9	錯＝重講第一幕
全部數據乘 2，標準差如何變？	乘 2	錯＝重講第二幕
分組表 Σf = 20，估算平均多少？	16.0	錯兩題以上＝回到第三幕

09　導師常問

這一章適合哪個年級？

中四至中六，DSE 數學必修部分的「統計」與延伸單元 M1 都會用到標準差。

使唔使背公式？

只需記三條：平均數、偏差平方和、標準差開方；其餘由定義推。

有無配套練習？

家課欄連到數學章節索引，可配概率與排列組合順序排。

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本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。