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中四数学 统计与离差练习三（挑战）：十题反求、加权与极端值
中四数学 统计与离差练习三（挑战）：十题反求、加权与极端值
十题推向分析：反求缺项、加权平均、改一个值对平均与范围的影响、删去离群值，以及中位数的稳定性。
直接答案 第 01 至 03 题练反求缺项、标准差与加权平均，第 04 至 06 题练改值对平均与范围的影响、删去离群值与稳定性比较，第 07 至 09 题练九个数的四分位数、偏差平方和与加入极端值，第 10 题针对漏开平方根。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 25 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中四数学 统计与离差 |
| 适用年级 | 中四 |
02 题目（10 题）
- 基础五个数的平均数是 9，其中四个是 6、8、10、13，求第五个数。
- 基础求 3、5、7、9 的标准差。
- 基础20 名男生平均身高 165 cm，30 名女生平均 155 cm，全体平均身高是多少？
- 进阶把 4、6、8、10、12 中的 12 改成 22，平均数与范围怎样变？
- 进阶数据 5、6、7、8、9、10、40 删去 40 之后，平均数与中位数变成多少？
- 进阶两班平均分同为 65，甲班标准差 5，乙班标准差 12，哪一班成绩较稳定？
- 挑战求 3、5、7、8、10、12、14、15、18 的下四分位数、上四分位数与四分位距。
- 挑战五个数的偏差平方和 Σ(x − 平均)² 是 60，求方差与标准差。
- 挑战数据 10、12、15、18、20 加入一个 90 之后，平均数与中位数变成多少？
- 错题重练求 2、4、6、8 的标准差时，有同学把方差 5 直接当答案，正确答案是多少？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 8 | 总和 = 5 × 9 = 45，已知四个相加得 37，所以第五个是 45 − 37 = 8。 |
| 2 | 约 2.24 | 平均数 6，偏差平方和 = 9 + 1 + 1 + 9 = 20，方差 5，标准差 = √5 ≈ 2.24。 |
| 3 | 159 cm | 按人数加权：(20 × 165 + 30 × 155) ÷ 50 = 7 950 ÷ 50 = 159 cm。 |
| 4 | 平均数由 8 变 10，范围由 8 变 18 | 原本总和 40，改后总和 50，50 ÷ 5 = 10；最小仍是 4，最大由 12 变 22，所以范围 18。 |
| 5 | 平均数 7.5、中位数 7.5 | 原本七个数总和 85、平均约 12.14；删去 40 后六个数 5 至 10 总和 45，平均 7.5，中位数取 7 与 8 的平均，同样是 7.5。 |
| 6 | 甲班较稳定 | 平均数相同时，标准差越小代表数据越集中，甲班 5 小于乙班 12，所以甲班成绩较集中。 |
| 7 | Q1 = 6、Q3 = 14.5、四分位距 = 8.5 | 九个数中位数是 10，下半四个 3、5、7、8 的中位数是 6，上半四个 12、14、15、18 的中位数是 14.5，相减得 8.5。 |
| 8 | 方差 12、标准差约 3.46 | 方差 = 60 ÷ 5 = 12，标准差 = √12 ≈ 3.46，除以的是数据个数而不是个数减一。 |
| 9 | 平均数 27.5、中位数 16.5 | 总和由 75 变 165，六个数平均 27.5；中位数取 15 与 18 的平均 16.5，只移了一位，中位数对极端值不敏感。 |
| 10 | 约 2.24 | 方差 5 之后要多开一次平方根才得标准差，√5 ≈ 2.24；漏开方是标准差最常见的错。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。