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中四数学 三角比与方位角：第三份（挑战）
中四数学 三角比与方位角：第三份（挑战）
第 3 份（挑战）十题三角比与方位角练习，附答案与一句解说。
直接答案 适用程度：中四数学；题型：三条比值、特别角、求边长、仰角俯角与方位角。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 20 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中四数学 三角比与方位角 |
| 适用年级 | 中四 |
02 题目（10 题）
- 基础一座塔高 50 m，地面某点看塔顶的仰角为 45°。求该点与塔底的距离。
- 基础已知 θ 是锐角且 sin θ = 3/5。求 cos θ。
- 基础一个等腰直角三角形的斜边 10 开方 2 cm。求两股的长度。
- 进阶在山脚一点量得山顶仰角 30°，向山走近 100 m 后仰角变为 45°。求山高（取两位小数）。
- 进阶灯塔在某船的方位 060°、距离 5 km。求该船相对灯塔的向东位移与向北位移（取两位小数）。
- 进阶一把 13 m 长的梯靠在垂直的墙上，梯脚离墙 5 m。求梯顶的高度及梯与地面的夹角（取两位小数）。
- 挑战由 A 点看 B 点的方向是 040°。由 B 点看 A 点的方位角是多少？
- 挑战一艘船由 P 向方位角 120° 航行 8 km 到 Q，再向方位角 030° 航行 6 km 到 R。求 R 相对 P 的向东位移（取两位小数）。
- 挑战一条 50 m 长的风筝线与水平线成 60° 角。求风筝离地的高度（取两位小数）。
- 错题重练错题重练：学生已知水平距离 100 m 与仰角 30°，却用 cos 求塔高。正确做法与答案是什么？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 距离 = 50 ÷ tan 45° = 50 m。 | 以 tan 为桥：高是对边、距离是邻边，两者对调就要用除。 |
| 2 | cos θ = 开方(1 − 9/25) = 4/5 = 0.8。 | 用 sin²θ + cos²θ = 1 这条恒等式，不必知道三角形的边长。 |
| 3 | 每股 = 10 cm，因为斜边等于股乘开方 2。 | 等腰直角三角形中，斜边与股的比值固定为开方 2。 |
| 4 | 山高 h 满足 h ÷ tan 30° − h ÷ tan 45° = 100，解得 h ≈ 136.603 m。 | 两次观察各写一条方程，山高相同，相减就是走过的 100 m。 |
| 5 | 向东 = 5 × sin 60° ≈ 4.33 km；向北 = 5 × cos 60° = 2.5 km。 | 方位角由北起计，所以向北用 cos、向东用 sin。 |
| 6 | 高度 = 开方(13² − 5²) = 12 m；cos θ = 5/13，θ ≈ 67.38°。 | 求高度用毕氏定理，求夹角就用邻边与斜边之比，即 cos。 |
| 7 | 方位角 = 40° + 180° = 22°。 | 两点互相对望的方向永远相差 180°。 |
| 8 | 向东 = 8 × sin 120° + 6 × sin 30° ≈ 9.928 km。 | 每段航程的向东分量都用 sin 乘，两段相加就是总向东位移。 |
| 9 | 高度 = 50 × sin 60° ≈ 43.301 m。 | 线长是斜边，高度是对边，用 sin 最直接。 |
| 10 | 应用 tan：塔高 = 100 × tan 30° ≈ 57.735 m。 | 已知邻边求对边一定用 tan，用 cos 只会求出斜边长。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
做三角比的题目，第一步永远是画图并标明直角在哪里，再把三个名称贴上去：与所求角相对的一边是对边，挨住直角旁边的一边是邻边，最长的一边是斜边。三条比值只有一个分别就在分母：sin 用斜边，cos 用斜边，tan 用邻边。写完比值之后，先看已知的是哪两项，选一条只含这两个已知量的公式，就只剩一个未知数。特别角 30° 45° 60° 的数值要背熟，题目见到这些角就不要按计算机。方位角一律由北顺时针量度，0° 是北、90° 是东、180° 是南、270° 是西，换算 N…E 写法时把角度拆成由北或由南起计，两者相加要等于题目给的方位角。最后把答案代回三角形检查：斜边一定是最长的一边，比值一定小于 1。导师登记 →
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