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中四数学 正弦公式与余弦公式：第二份（进阶）
中四数学 正弦公式与余弦公式：第二份（进阶）
第 2 份（进阶）十题正弦公式与余弦公式练习，附答案与一句解说。
直接答案 适用程度：中四数学；题型：正弦公式、余弦公式、三角形面积公式、两解判断与方位角应用。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 20 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中四数学 正弦公式与余弦公式 |
| 适用年级 | 中四 |
02 题目（10 题）
- 基础三角形 ABC 中，B = 50°，C = 70°，b = 12 cm，求 c。
- 基础三角形两边 9 cm 与 11 cm，夹角 45°，求第三边。
- 基础三角形两边 10 cm 与 14 cm，夹角 40°，求面积。
- 进阶三角形三边 7 cm、9 cm、12 cm，求 7 cm 对着的角 A。
- 进阶三角形 ABC 中，b = 15 cm，B = 35°，A = 80°，求 a。
- 进阶三角形三边 7 cm、8 cm、9 cm，求面积。
- 挑战三角形 ABC 中，a = 8 cm，b = 10 cm，A = 30°。求角 B 的所有可能值，并说明两个解是否都成立。
- 挑战三角形三边 5 cm、12 cm、13 cm，求 13 cm 对着的角。
- 挑战三角形面积 30 cm²，两边 10 cm 与 12 cm，求夹角 A 的两个可能值。
- 错题重练某同学求第三边时写成 c² = 6² + 8² + 2 × 6 × 8 × cos 60°，得 12.166 cm，而两边夹角是 60°。正确答案是多少？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | c = 14.72 cm。 | c = 12 × sin 70° ÷ sin 50°。 |
| 2 | 第三边 = 7.874 cm。 | c² = 81 + 121 − 198 × cos 45°，cos 45° 约 0.7071，c² 约 62。 |
| 3 | 面积 = 44.995 cm²。 | 面积 = 10 × 14 × sin 40° ÷ 2。 |
| 4 | A = 35.431°。 | cos A = (9² + 12² − 7²) ÷ (2 × 9 × 12)，由余弦公式反求角。 |
| 5 | a = 25.754 cm。 | a = 15 × sin 80° ÷ sin 35°。 |
| 6 | 面积 = 26.833 cm²。 | 半周界 s = 12，面积 = √(12 × 5 × 4 × 3) = 26.833。 |
| 7 | B = 38.682° 或 141.318°，两解都成立。 | sin B = 0.625；30° 加 141.3° 仍小于 180°，所以有两个三角形。 |
| 8 | C = 90°，是直角。 | cos C = (25 + 144 − 169) ÷ 120 = 0，所以 C 是 90°。 |
| 9 | A = 30° 或 150°。 | sin A = 2 × 30 ÷ 120 = 0.5，所以 A 是 30° 或 150°。 |
| 10 | c = 7.211 cm。 | 余弦公式中 2ab cos C 前是减号，c² = 36 + 64 − 48 = 52。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
做这类题目，先问自己手上是三边、两边夹角，还是两角一边。只有两角一边时用正弦公式；有两边及其夹角时用余弦公式。用正弦公式反求角，要检查 180 度减去该角是否仍然合法，合法就有两解。求面积一律用两边乘积的一半再乘夹角的正弦。导师登记 →
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