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中四数学 正弦公式与余弦公式：第三份（挑战）
中四数学 正弦公式与余弦公式：第三份（挑战）
第 3 份（挑战）十题正弦公式与余弦公式练习，附答案与一句解说。
直接答案 适用程度：中四数学；题型：正弦公式、余弦公式、三角形面积公式、两解判断与方位角应用。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 20 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中四数学 正弦公式与余弦公式 |
| 适用年级 | 中四 |
02 题目（10 题）
- 基础三角形三边 13 cm、14 cm、15 cm，求面积。
- 基础三角形 ABC 中，B = 110°，C = 25°，b = 20 cm，求 a。
- 基础三角形两边同为 9 cm，夹角 60°，求面积。
- 进阶三角形面积 48 cm²，两边 12 cm 与 10 cm，求夹角 C 的所有可能值。
- 进阶三角形 ABC 中，AB = 10 cm，AC = 7 cm，A = 60°，求 BC。
- 进阶三角形两边 11 cm 与 8 cm，夹角 100°，求第三边。
- 挑战三角形 ABC 中，a = 7 cm，b = 8 cm，A = 40°。求角 B 的所有可能值，并判断解的数目。
- 挑战三角形三边 4 cm、5 cm、6 cm，求最大的角。
- 挑战某人由 A 出发行 6 km，再转向使两段路夹角成 120°，行 9 km 到 B。求 A 与 B 的直线距离。
- 错题重练三角形 ABC 中，a = 10 cm，b = 12 cm，A = 35°。某同学只写下 B = 43.495° 便完结。正确答案应有几个解？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 面积 = 84 cm²。 | 半周界 s = 21，面积 = √(21 × 8 × 7 × 6) = 84。 |
| 2 | a = 8.995 cm。 | 先用内角和得 A = 45°，再用 a = 20 × sin 45° ÷ sin 110°。 |
| 3 | 面积 = 35.074 cm²。 | 面积 = 9 × 9 × sin 60° ÷ 2。 |
| 4 | C = 53.13° 或 126.87°。 | sin C = 2 × 48 ÷ 120 = 0.8，锐角与钝角都符合。 |
| 5 | BC = 8.888 cm。 | BC² = 100 + 49 − 2 × 10 × 7 × cos 60° = 79。 |
| 6 | 第三边 = 14.682 cm。 | cos 100° 是负数，所以 2ab cos C 一项变成加号，c² 约 215.6。 |
| 7 | B = 47.275° 或 132.725°，两个解都成立。 | sin B = 8 × sin 40° ÷ 7 = 0.735；40° 加 132.7° 仍小于 180°，所以有两个三角形。 |
| 8 | 最大角 = 82.819°。 | 最大角对着 6 cm 边，cos C = (16 + 25 − 36) ÷ 40 = 0.125。 |
| 9 | 距离 = 13.077 km。 | 余弦公式 d² = 36 + 81 − 2 × 6 × 9 × cos 120°，cos 120° 为 −0.5，d² = 171。 |
| 10 | B = 43.495° 或 136.505°，共两个解。 | sin B = 12 × sin 35° ÷ 10 = 0.688；35° 加 136.5° 仍小于 180°，所以两个角都成立。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
做这类题目，先问自己手上是三边、两边夹角，还是两角一边。只有两角一边时用正弦公式；有两边及其夹角时用余弦公式。用正弦公式反求角，要检查 180 度减去该角是否仍然合法，合法就有两解。求面积一律用两边乘积的一半再乘夹角的正弦。导师登记 →
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