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中四数学二次函数 第四份：配方、截距与抛物线应用
中四数学二次函数 第四份：配方、截距与抛物线应用
第四份由顶点式出发，反过来读截距与变换，再用抛物线解决最大值的实际问题。
练习重点 顶点式看极值，令 y = 0 找 x 截距，应用题先写出二次函数再找顶点。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 25 |
| 难度分布 | 基础 4 · 进阶 3 · 挑战 2 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中四数学：二次函数与图像 |
| 适用年级 | 中四 |
02 题目（10 题）
- 基础写出 y = (x + 4)² − 7 的顶点与最小值。
- 基础求 y = x² − 10x + 21 的两个 x 截距、y 截距与顶点。
- 基础用配方法把 y = 2x² + 4x − 6 写成顶点式。
- 基础求 y = −3(x − 1)² + 12 的最大值与两个 x 截距。
- 进阶若 y = x² + kx + 16 的图像与 x 轴相切，求 k。
- 进阶y = x² + 2x + 3 的图像与 x 轴有几个交点？
- 进阶球被向上抛，高度 h = −5t² + 40t（米）。求最高点及几秒后落地。
- 挑战两数之和是 20，求它们的最大乘积。
- 挑战把 y = x² 的图像先向右移 3 单位、再向下移 2 单位，写出新方程与顶点。
- 错题重练错题：同学答 y = x² − 4x + 7 的顶点是 (−2, 3)。正确顶点是什么？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 顶点 (−4, −7)，最小值 −7 | 括号内加 4 即向左移 4，顶点横坐标是 −4，平方项最小为零时 y 最小。 |
| 2 | x 截距 3 与 7，y 截距 21，顶点 (5, −4) | 解 (x − 3)(x − 7) = 0 得两截距；代 x = 0 得 21；顶点在正中间 5，y 值 −4。 |
| 3 | y = 2(x + 1)² − 8 | 抽 2 得 2(x² + 2x) − 6，加减 1 得 2(x + 1)² − 2 − 6 = 2(x + 1)² − 8。 |
| 4 | 最大值 12，x 截距 −1 与 3 | 负号令开口向下，平方项为零时取最大值 12；解 −3(x − 1)² + 12 = 0 得 x = 1 ± 2。 |
| 5 | k = 8 或 k = −8 | 相切代表判别式 k² − 64 = 0，所以 k = ±8。 |
| 6 | 没有交点（判别式 −8） | 判别式 4 − 12 = −8 小于零，抛物线整个在 x 轴上方。 |
| 7 | 4 秒时最高 80 米，8 秒后落地 | 顶点在 t = 40 ÷ 10 = 4，h = 80；落地解 −5t(t − 8) = 0 得 t = 8。 |
| 8 | 最大乘积 100 | 设一数 x，另一数 20 − x，乘积 x(20 − x) = −(x − 10)² + 100，故 x = 10 时最大。 |
| 9 | y = (x − 3)² − 2，顶点 (3, −2) | 向右移把 x 换成 x − 3，向下移在最后减 2，顶点跟随移动到 (3, −2)。 |
| 10 | (2, 3) | 配方得 (x − 2)² + 3，括号内是减 2，所以顶点横坐标是 +2 而不是 −2。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。
