DSE 數學｜二次函數與圖像備課指引（導師用）｜配方法、頂點、判別式與圖像關係

2026-10-27

學生識解方程，但一看圖就亂。這一堂把「式子 ↔ 圖像」的三個開關講清楚：a 管開口，頂點管最高最低，判別式管有幾個交點。

本堂目標　學生能夠：① 用配方法把 y = ax² + bx + c 寫成頂點式；② 說出頂點、對稱軸與開口方向；③ 由判別式判斷圖像與 x 軸的交點數目。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
二次方程	解 x² − 5x + 6 = 0	x = 2 或 3
配方法	把 x² − 4x 寫成 (x − 2)² − 4	正確
函數概念	說出 f(2) 是什麼意思	把 x = 2 代入

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–8 分	三個開關	a、頂點、判別式各管什麼	複述三個開關
8–22 分	配方法	示範 y = x² − 4x + 3	自己做兩題
22–36 分	讀圖	給圖說出頂點與對稱軸	自己寫出兩條
36–50 分	判別式與交點	Δ>0、=0、<0 三種圖	配對五題
50–56 分	應用	最大面積問題	列式並求頂點
56–60 分	離場檢查	發三題，收回即批	獨立完成

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：a 管開口，符號決定上下

y = ax² + bx + c，a > 0 開口向上，有最小值；a < 0 開口向下，有最大值。
|a| 越大，圖像越窄。
所以先看 a，就知道圖的形狀。

要學生判斷三條方程的開口方向。

第二幕：配方法找頂點

y = x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1。
頂點是 (2, −1)，對稱軸是 x = 2。
記法：頂點式的 h 是「令括號為零」的 x，k 是最小值。

要學生做：y = x² + 6x + 5 的頂點是 (−3, −4)。

第三幕：判別式管交點數目

Δ = b² − 4ac。Δ > 0：與 x 軸有兩個交點（即兩個實根）；Δ = 0：只碰到一點（重根）；Δ < 0：完全不接觸（沒有實根）。
所以方程與圖像其實講同一件事。

提醒：「沒有實根」不等於「沒有解」，只是沒有實數解。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
配方法	y = x² − 4x + 3	(x − 2)² − 1	頂點 (2, −1)，對稱軸 x = 2
開口與最值	y = −2x² + 4x	a < 0，有最大值	最大值 2（頂點 (1, 2)）
判別式	y = x² + 2x + 5	Δ = 4 − 20 = −16	與 x 軸無交點
應用	圍欄長 20 m 的長方形最大面積	設闊 x，面積 x(10 − x)	x = 5 時最大 25 m²

合理性檢查（一定要教）：頂點的 y 值必為最值：a > 0 是最小值，a < 0 是最大值；若答「最小值」但 a < 0，一定錯。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
y = x² + 6x + 5 的頂點	(−3, −4)	配方法是否正確
y = 2x² − 8x + 1 的對稱軸	x = 2	−b/2a
y = x² − 2x + 3 與 x 軸的交點數	0 個（Δ = −8）	判別式符號

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
配方法漏常數	x² − 4x + 3 = (x − 2)² + 3	要把 +4 減回：−1。
頂點符號錯	y = (x − 2)² − 1 答頂點 (−2, −1)	括號內減 2，h = +2。
a<0 說有最小值	y = −x² 答最小值 0	開口向下是最大值。
Δ<0 說有兩個根	判別式負數仍答兩根	Δ 負代表沒有實根。

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

中學數學章節索引　本頁三題作課後練習

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
y = x² − 4x + 3 的頂點	(2, −1)	三題全對＝可進對數
a < 0 的圖像有什麼最值	最大值	錯一題＝下堂前重講三個開關
Δ = 0 代表什麼	只有一個交點（重根）	錯兩題以上＝回到第三幕

09　導師常問

要不要背頂點公式？

可以記 x = −b/2a 作驗算，但配方法要懂，因為後面求最值要用。

圖像題要畫得多準？

只需標出頂點、對稱軸與交點，不必逐點描。

與二次方程那一章有何分別？

那一章求根，這一章求形狀與最值，同一個式子的兩種讀法。

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