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DSE 数学｜等差等比数列 备课指引（导师用）｜通项、求和、应用题建模
学生最常死在同一件事：分不清 T(n) 与 S(n)。这一堂要他们每题先写“我要第几项，还是头 n 项总和”。
本堂目标 学生能够：① 由首项与公差／公比写出通项并求指定项；② 用求和公式计头 n 项总和；③ 把“每月加价”“每小时倍增”类文字题翻译成 a、d 或 a、r，并判断题目问的是项还是总和。
01 先备知识（开课前 3 分钟快检）
以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：
| 技能 | 快检题 | 过关标准 |
|---|---|---|
| 代入公式 | T(n) ＝ a ＋ (n−1)d，a ＝ 3、d ＝ 4，T(4) 几多 | 15 |
| 指数 | 3 的 5 次方 | 243 |
| 解一次方程 | 2n − 1 ＝ 19，n 几多 | n ＝ 10 |
02 课堂流程（60 分钟）
| 时间 | 环节 | 导师做什么 | 学生做什么 |
|---|---|---|---|
| 0–5 分 | 诊断 | 三题快检，看指数与代入是否过关 | 即场作答并报答案 |
| 5–20 分 | 示范两个通项 | 并排写等差与等比通项，圈出差异 | 抄公式并标 a、d、r |
| 20–38 分 | 示范两个求和 | 同一组数列即场计 T 与 S，比较数值 | 跟计并核对 |
| 38–52 分 | 应用题建模 | 读三句文字题，示范抽出 a、d、r | 自行写出 a 与 d／r |
| 52–60 分 | 错误纠正与离场检查 | 讲四个常见错误，抽问离场三题 | 口头回答并自评 |
03 讲解脚本（照着说就可以）
第一幕：通项：等差靠加，等比靠乘
写两行并排：等差 T(n) ＝ a ＋ (n−1)d；等比 T(n) ＝ ar^(n−1)。
即场用 a ＝ 3、d ＝ 4 计第 10 项：T(10) ＝ 3 ＋ 9×4 ＝ 39。
再问：“第 1 项系不系 3？”要学生自己代入 n ＝ 1 验证，这一验可以挡住一半的代错。
即场用 a ＝ 3、d ＝ 4 计第 10 项：T(10) ＝ 3 ＋ 9×4 ＝ 39。
再问：“第 1 项系不系 3？”要学生自己代入 n ＝ 1 验证，这一验可以挡住一半的代错。
强调：括号是 (n−1)，不是 (n＋1)；漏括号是最高频错误。
第二幕：求和：先问“要不要加埋前面”
同一组数列 a ＝ 3、d ＝ 4，计头 10 项和：S(10) ＝ 10÷2 × (2×3 ＋ 9×4) ＝ 210。
用“平均数 × 项数”讲一次，学生会明白为何是 n÷2。等比就用 a ＝ 2、r ＝ 3：T(6) ＝ 486，S(6) ＝ 728。
用“平均数 × 项数”讲一次，学生会明白为何是 n÷2。等比就用 a ＝ 2、r ＝ 3：T(6) ＝ 486，S(6) ＝ 728。
提醒：S(n) 一定大过 T(n)（正数列），计到 S 细过 T 就一定错。
第三幕：应用题：先写 a 与 d／r，再决定问项定问和
读题三步：① 第一个数是 a；② 每次加或乘几多是 d 或 r；③ 问“第几个”是项，问“共几多”是总和。
例：每月加 4 元、首月 3 元，第 10 个月 ＝ 39 元，10 个月共收 210 元。同一组数两个答案都要讲，让学生看到分别。
例：每月加 4 元、首月 3 元，第 10 个月 ＝ 39 元，10 个月共收 210 元。同一组数两个答案都要讲，让学生看到分别。
强调：题目出现“总共”“合计”“一共”就画线，写上 S(n)。
04 必教题型与步骤
| 题型 | 例子 | 步骤 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 求指定项 | a ＝ 3、d ＝ 4，求 T(10) | ① 写通项 ② 代 a、d、n ③ 计算 | 39 |
| 求项数 | a ＝ 3、d ＝ 4，几时等于 99 | ① 设 T(n) ＝ 99 ② 解一次方程 ③ 答案要正整数 | n ＝ 25 |
| 求总和 | a ＝ 3、d ＝ 4，求 S(10) | ① 写求和公式 ② 代入 ③ 先乘后加 | 210 |
| 等比应用 | 首项 2、公比 3，求 T(6) 与 S(6) | ① 认出“每次乘” ② 通项计项 ③ 求和公式 | 486 与 728 |
合理性检查（一定要教）：通项代入 n ＝ 1 必须等于 a ＝ 3，不等于就系公式打错。
等差 S(10) ＝ 210 应该大约等于“首项加末项乘项数除二”＝ (3＋39)×10÷2，两个算法要对得上。
等比数列 r ＝ 3 时每一项都是前一项 3 倍，T(6) ＝ 486 一定要大过 S(5)，若细过就代表指数计错。
等差 S(10) ＝ 210 应该大约等于“首项加末项乘项数除二”＝ (3＋39)×10÷2，两个算法要对得上。
等比数列 r ＝ 3 时每一项都是前一项 3 倍，T(6) ＝ 486 一定要大过 S(5)，若细过就代表指数计错。
05 独立练习三题
| 题目 | 答案 | 想观察什么 |
|---|---|---|
| a ＝ 5、d ＝ 3，求 T(12) | 38 | 有无用 (n−1) |
| a ＝ 4、d ＝ 6，求 S(10) | 310 | 有无先算括号 |
| 首项 3、公比 2，求 T(8) | 384 | 指数系 7 定 8 |
06 学生常见错误与纠正句
| 错误 | 学生通常这样写 | 导师这样说 |
|---|---|---|
| 漏括号 | “T(n) ＝ a ＋ n−1d” | “要写 a ＋ (n−1)d，没有括号就会变成 a ＋ n 再减 d，n ＝ 1 时已经错。” |
| 项与和混淆 | 求第 10 个月收了几多，答了 210 | “题目问第 10 个月，只要 T(10) ＝ 39；210 是十个月合计。” |
| 等比当等差 | “2、6、18 每次加 4” | “2 到 6 是乘 3，6 到 18 也是乘 3，3 是公比，不是公差。” |
| 指数起点错 | “T(6) ＝ 2×3^6” | “第一项是 2×3^0，所以第 6 项是 2×3^5 ＝ 486。” |
07 家课建议（直接指到练习卷题号）
- 中学数学（DSE）备课指引索引 对照本章十节结构
- 校内 S5 数列练习卷 Paper 1 Q1–Q5（通项与项数）
- 校内 S5 数列练习卷 Paper 2 Q6–Q10（求和与应用题）
08 离场检查（最后 5 分钟）
| 题目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| 等差通项写法 | a ＋ (n−1)d | 错＝重写公式 |
| a ＝ 3、d ＝ 4，T(10) | 39 | 错＝重做第二幕 |
| 题目写“合计”要用哪个 | S(n) | 错＝重读应用题三步 |
09 导师常问
两个求和公式要不要都背？
等差背一个就够（n÷2 乘首末项和），等比一定要背 a(r^n−1)÷(r−1)。
学生计数慢点算？
先练“写公式、代数、按机”三步分开，容许他们写完公式才按计算机，错的机会少一半。
应用题几时用等比？
文字出现“倍增”“乘以”“每期 3 倍”“贬值”就用等比，出现“每月多”“逐年加”就用等差。
本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。
