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中五数学：圆的性质──弦、弧与切线（进阶 10 题）
中五数学：圆的性质──弦、弧与切线（进阶 10 题）
十题加强版：平行弦同侧相减、异侧相加，切线长与 OP 互求，切线夹角用半角正弦；每题两个步骤以上。
平行弦与切线的组合运用 进阶卷集中在两种组合：一是两条平行弦与圆心的位置安排，同侧要相减、异侧要相加；二是切线三角形，已知 OP、半径、切线长其中两个求第三个，并用 OP 平分切线夹角处理角度。每题都要先写出所用定理。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 25 |
| 难度分布 | 进阶 9 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中五数学：圆的性质──弦、弧与切线 |
| 适用年级 | 中五数学 |
02 题目（10 题）
- 进阶半径 25 cm，弦长 48 cm。求圆心到弦的距离。
- 进阶半径 15 cm，圆心到弦的距离 9 cm。求弦长。
- 进阶半径 13 cm，两条平行弦长 24 cm 与 10 cm，同在圆心的一侧。求两弦之间的距离。
- 进阶同一个圆（半径 13 cm），同样长 24 cm 与 10 cm 的两条平行弦，改为分别在圆心两侧。求距离。
- 进阶半径 5 cm，外点 P 距圆心 13 cm。求由 P 引出的切线长度。
- 进阶半径 5 cm，OP = 10 cm，PA、PB 为两切线。求 ∠APB。
- 进阶切线长 20 cm，半径 15 cm。求外点与圆心的距离 OP。
- 进阶半径 13 cm 的圆中，弦 CD 距圆心 5 cm 且 CD = 24 cm。另一弦 AB 也距圆心 5 cm。求 AB。
- 进阶半径 29 cm，弦长 40 cm。求圆心到弦的距离。
- 错题重练错题重练：有同学写“切线长等于半径”。若 OP = 25 cm、半径 7 cm，切线长应为多少？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 7 cm。 | 半弦 24，√(625 − 576) = 7；先减后开方，不要先开方。 |
| 2 | 24 cm。 | 半弦 √(225 − 81) = 12，全弦 24。 |
| 3 | 7 cm。 | 两弦距圆心分别 5 cm 与 12 cm，同侧相减：12 − 5 = 7。 |
| 4 | 17 cm。 | 异侧要相加：5 + 12 = 17；同侧才相减，这是最常见的失分位。 |
| 5 | 12 cm。 | 切线、半径、OP 成直角三角形：√(169 − 25) = 12。 |
| 6 | 60°。 | OP 平分 ∠APB，且 sin(半角) = 5 ÷ 10 = 0.5，半角 30°，全角 60°。 |
| 7 | 25 cm。 | OP 是斜边：√(15² + 20²) = 25，记住 3-4-5 的放大版。 |
| 8 | AB = 24 cm。 | 与圆心等距的弦等长，所以 AB 与 CD 同长，不需要再算。 |
| 9 | 21 cm。 | 半弦 20，√(841 − 400) = 21。 |
| 10 | 24 cm。 | 切线长是直角三角形的一股，与半径互换会令斜边计错；√(625 − 49) = 24。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。