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中五数学：圆的性质──弦、弧与切线（挑战 10 题）
中五数学：圆的性质──弦、弧与切线（挑战 10 题）
十题综合卷：长弦较近圆心、圆心角用正弦余弦求弦与圆心距、切线与弦夹角等于弓形圆周角、同心圆相切弦。
多步推理与公式换算 挑战卷要求把定理接起来用：先由弦长比较圆心距，再由圆心角用 2r sin(θ/2) 求弦、用 r cos(θ/2) 求圆心距，之后处理切线与弦的夹角（等于另一弓形的圆周角）以及同心圆中弦与小圆相切的距离安排。答案要写出使用的定理名称。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 25 |
| 难度分布 | 挑战 9 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中五数学：圆的性质──弦、弧与切线 |
| 适用年级 | 中五数学 |
02 题目（10 题）
- 挑战半径 13 cm 的圆中，弦 AB = 24 cm，弦 CD = 10 cm。哪一条较接近圆心？距离分别是多少？
- 挑战半径 13 cm，两条平行弦各长 24 cm 与 10 cm，分别位于圆心两侧。求两弦距离。
- 挑战半径 6 cm，圆心角 ∠AOB = 120°。求弦 AB 的长度（2 位小数）及圆心到 AB 的距离。
- 挑战半径 10 cm，圆心角 90°。求弦长与圆心到弦的距离（2 位小数）。
- 挑战由外点 P 引两切线 PA、PB，∠APB = 64°。求 ∠AOB（O 为圆心）。
- 挑战切线与弦 AB 的夹角是 65°。求 AB 所在弓形内的圆周角。
- 挑战两同心圆半径 13 cm 与 5 cm，大圆的一条弦与小圆相切。求该弦长。
- 挑战由外点 P 引两切线 PA、PB，PA = PB = 15 cm，OP = 17 cm。求圆的半径。
- 挑战半径 8 cm，圆心角 60°。求弦长，并说明三角形的形状。
- 错题重练错题重练：有同学写“切线与弦的夹角等于所对的圆心角”。若夹角是 50°，圆周角与圆心角应各是多少？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | AB 较近：AB 距圆心 5 cm，CD 距圆心 12 cm。 | 长弦较近圆心；分别用 √(169 − 144) 与 √(169 − 25) 算出 5 与 12。 |
| 2 | 17 cm。 | 先各算圆心距 5 与 12，异侧相加得 17；作图分清同侧与异侧。 |
| 3 | AB = 6√3 ≈ 10.39 cm，圆心距 = 3 cm。 | 弦 = 2 × 6 × sin60° ≈ 10.39；圆心距 = 6 × cos60° = 3，两个公式不要混。 |
| 4 | 弦长 10√2 ≈ 14.14 cm，圆心距 5√2 ≈ 7.07 cm。 | 弦 = 2 × 10 × sin45°；圆心距 = 10 × cos45°；两者相差 √2 倍。 |
| 5 | ∠AOB = 116°。 | 四边形 OAPB 的两个切点角各 90°，故 ∠AOB = 360 − 90 − 90 − 64 = 116°。 |
| 6 | 65°。 | “切线与弦的夹角等于另一弓形的圆周角”，所以直接相等，不用除以 2。 |
| 7 | 24 cm。 | 相切即该弦距圆心 5 cm；半弦 √(169 − 25) = 12，全弦 24。 |
| 8 | 8 cm。 | 半径 = √(17² − 15²) = 8；这里斜边是 OP，不是切线。 |
| 9 | 弦长 8 cm；△OAB 是等边三角形。 | OA = OB = 8 且夹角 60°，第三边必为 8，所以是等边三角形。 |
| 10 | 弓形内圆周角 50°，同弧圆心角 100°。 | 切线与弦的夹角等于弓形内的圆周角，而圆心角是圆周角的两倍。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。