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中五数学 指数与对数：第 3 份（挑战）
中五数学 指数与对数：第 3 份（挑战）
十题去到对数方程与应用：改写成指数式、合并对数、二次代换、同底化指数方程与倍增情境。
直接答案 第 1 至 3 题 x = 13、x = 13、x = 0 或 2；第 4 至 6 题 x = 5、5、1.3010；第 7 至 9 题 x = 3、x = 6、3 小时；第 10 题负 3 不合，只有 x = 3。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 20 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中五数学 指数与对数 |
| 适用年级 | 挑战 |
02 题目（10 题）
- 基础解方程：以 2 为底 (x + 3) 的对数等于 4。
- 基础解方程：以 5 为底 (2x − 1) 的对数等于 2。
- 基础解方程 2 的 2x 次方减 5 乘 2 的 x 次方加 4 等于 0。
- 进阶解方程：以 10 为底 x 的对数，加上以 10 为底 (x − 3) 的对数，等于 1。
- 进阶计算：以 2 为底 12 的对数减以 2 为底 3 的对数，再加 3。
- 进阶已知以 a 为底 2 的对数是 0.3010，以 a 为底 5 的对数是 0.6990。求以 a 为底 20 的对数。
- 挑战解方程 9 的 x 次方等于 27 的 (x − 1) 次方。
- 挑战解方程 8 的 x 次方等于 4 的 (x + 3) 次方。
- 挑战某细菌每小时数目倍增，开始时有 500 个，要多少小时才增至 4000 个？
- 错题重练有学生解以 2 为底 (x − 1) 的对数加以 2 为底 (x + 1) 的对数等于 3，得出 x 为 3 或负 3。错在哪里？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | x = 13 | 化成指数式得 x + 3 = 16，所以 x 是 13。 |
| 2 | x = 13 | 化成指数式得 2x − 1 = 25，解得 x 是 13。 |
| 3 | x = 0 或 x = 2 | 设 y 为 2 的 x 次方，解 y² − 5y + 4 = 0 得 y 为 1 或 4，再还原得 x 为 0 或 2。 |
| 4 | x = 5 | 合并得 x(x − 3) = 10，解得 x 为 5 或负 2，负值不合，故 x 是 5。 |
| 5 | 5 | 前两项合并得 4 的对数即 2，再加 3 得 5。 |
| 6 | 1.3010 | 20 等于 4 乘 5，所以对数是 2 乘 0.3010 加 0.6990，得 1.3010。 |
| 7 | x = 3 | 两边化成 3 的次方得 2x 等于 3x − 3，解得 x 是 3。 |
| 8 | x = 6 | 两边化成 2 的次方得 3x 等于 2x + 6，解得 x 是 6。 |
| 9 | 3 小时 | 由 500 增至 4000 是 8 倍，2 的 3 次方是 8，所以需 3 小时。 |
| 10 | 负 3 不合，答案只有 x = 3 | 合并得 x² − 1 = 8，但 x 为负 3 会令对数的真数变成负数，没有定义。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
每条对数方程都要把根代回，写一句说明为什么保留或舍去。导师登记 →
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。