DSE 數學｜指數與對數備課指引（導師用）

DSE 數學｜指數與對數備課指引（導師用）｜由指數定律推到換底公式

2026-11-03

指數同對數唔係兩個單元，係同一個關係嘅兩面。學生一亂，多數係因為把「對數」當成新公式背，而唔係當成「問指數係幾多」。這一堂由一條問題開始，把兩邊接回去。

本堂目標　學生能夠：① 用指數定律化簡同底數的乘除與次方，並講出每一條定律的來源；② 把 aˣ = y 與 log_a y = x 互相翻譯，並用換底公式算出 log₂8 = 3 這類值；③ 解 3^(2x−1) = 27 這類方程（得 x = 2），並用 8% 年增長 9 年翻倍、半衰期 8 小時 40 小時後餘 3.125% 這兩個情境講出參數的意義。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
指數的意義	2 的 10 次方等於幾多？	1024
平方根與次方	9 的 1/2 次方是幾多？	3
移項與解一次方程	2x − 1 = 3，x 是幾多？	2

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–10 分	一條問題開場	問：2 要自乘幾多次才等於 8？再把問題寫成 log₂8	答 3，並寫出 log₂8 = 3
10–22 分	指數定律	由 2³×2⁴ 展開推三條定律，不直接給公式	自己推出 aᵐ×aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
22–38 分	定義與互換	aˣ = y ↔ log_a y = x，來回翻譯十次，包括分數與負指數	每次都能講出「指數係幾多」
38–48 分	換底與計算	用 log₂8 = log8 ÷ log2 算出 3，再算 log₃81	兩題都算對並寫出步驟
48–55 分	解方程與應用	解 3^(2x−1) = 27；再用 8% 增長與半衰期講參數	x = {X_ROOT}，並講出 1.08⁹ ≈ {GROWTH_FACTOR:.2f}
55–60 分	離場三問	即場批，錯即場重教對應一幕	三題全對

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：由「幾多次」開始，不要由公式開始

黑板上只寫一條問題：2 要自乘幾多次才等於 8？學生答 3。
然後把同一句話寫成數學符號：log₂8 = 3。再問：2 要自乘幾多次等於 1024？答 1024 是 2 的 10 次方，所以 log₂1024 = 10。
關鍵句要講三次：對數就是在問「指數是幾多」。所以 log_a y = x 與 aˣ = y 是同一句話的兩種寫法，不是兩條公式。
再補三個邊界：log_a 1 = 0（因為 a⁰ = 1）、log_a a = 1、而 a 必須是正數且不等於 1，y 必須是正數——這三個條件在 DSE 的定義域題目一定會考。

要學生講：log₅25 是幾多？你是用「幾多次」還是用公式得出？

第二幕：指數定律：由展開推，不要背

寫 2³ × 2⁴ = (2×2×2)(2×2×2×2)，數一數有幾個 2，就得 2⁷。同一手法推 aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ 與 (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ。
再處理三個易錯位：負指數 a⁻ⁿ = 1/aⁿ（由除法推：a² ÷ a⁵）、零指數 a⁰ = 1（由 aⁿ ÷ aⁿ 推）、分數指數 a^(1/n) = ⁿ√a（由 (a^(1/n))ⁿ = a 推）。
每一步都要學生自己展開一次，因為展開過就不會把 (aᵐ)ⁿ 寫成 a^(m+n)。這個錯誤在 DSE 幾乎年年出現，源頭就是當初只背不推。

要學生講：(2³)⁴ 同 2³ × 2⁴ 有咩分別？為甚麼？

第三幕：換底、解方程、講應用

換底公式由定義直接推：設 log_a b = x，則 aˣ = b；兩邊取 log_c，得 x·log_c a = log_c b，所以 x = log_c b ÷ log_c a。用 log₂8 驗證：log8 ÷ log2 = 3。
解方程只用一個動作：兩邊化成同底。3^(2x−1) = 27 = 3³，所以 2x − 1 = 3，x = 2。若底數無法相同，才用對數兩邊取 log。
應用題要講參數而不是講答案：每年增長 8%，9 年後倍數是 1.8⁹ ≈ 2.00（約翻一倍）；半衰期 8 小時，40 小時經過 5 個半衰期，剩下 0.5⁵ = 0.03125，即 3.125%。這兩個情境分別對應「1 + r」與「1 − r」，學生要講得出哪個是增長、哪個是衰減。

要學生講：為甚麼半衰期用 0.5 的次方，而通脹用 1.0x 的次方？

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
化簡	化簡 (2a³)² × a⁻⁴ ÷ a²	先處理括號與次方，再用同底加減指數，最後處理負指數	4a⁶ × a⁻⁴ ÷ a² = 4a⁰ = 4
對數計算	求 log₃81 與 log₂(1/8)	化成同底的次方：81 = 3⁴、1/8 = 2⁻³	4 與 −3
解指數方程	解 5^(x+1) = 125	兩邊化成同底 5：5^(x+1) = 5³，所以 x + 1 = 3	x = 2
應用	某城市人口每年增長 8%，幾年後會翻一倍？	設 1.08ⁿ = 2，兩邊取 log，n = log2 ÷ log1.08	n ≈ 9 年（1.08⁹ ≈ 2.00）

合理性檢查（一定要教）：檢查數字：2 的 10 次方是 1024；log₁₀1000 = 3；log₂8 = 3；3^(2×2−1) = 27；1.08 的 9 次方 ≈ 2.00；半衰期 8 小時、40 小時後餘 3.125%。全部由 python 計算，堂上不要用「大約兩倍」代替倍數；DSE 應用題的評分點通常是「設方程」與「取對數」兩步，答案的位數只是最後一格。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
化簡 (3x²)³ ÷ (9x⁴)，並寫出每一步用了哪條指數定律。	27x⁶ ÷ 9x⁴ = 3x²。	是否先處理係數與次方，再有次序地減指數
解 2^(3x−1) = 32，並檢查答案。	2^(3x−1) = 2⁵，3x − 1 = 5，x = 2；代回得 2⁵ = 32。	是否兩邊化成同底 2，並且有代回檢查
某藥物半衰期 6 小時，24 小時後剩下百分之幾？	24 ÷ 6 = 4 個半衰期，0.5⁴ = 0.0625，即 6.25%。	是否先算半衰期個數，而不是直接 0.5 × 24

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
把對數當新公式	「log₂8 我要查表。」	「唔用表。問你自己：2 自乘幾多次等於 8？答案就係你要嘅對數。」
次方相加	「(2³)⁴ = 2⁷。」	「括號外面嘅 4 係做幾多次『三次方』？展開一次畀我睇。」
忽略定義域	「log(−4) 可以計，負數一樣有對數。」	「對數問嘅係『底數自乘幾多次』，正數自乘永遠正數，所以真數一定要正。」
應用題用錯底	「每年增長 8%，所以用 0.08 的次方。」	「0.08 係增加的比率，唔係新舊比例；你要用 1 + 0.08 = 1.08。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

本頁獨立練習重做　第 1 至 3 題：化簡題要寫出用了哪條定律，方程題要代回檢查，應用題要寫出設定方程那一步，下堂先交第 3 題。
預習下一章：直線方程與圓　在科目索引頁找出「圓的方程」一章，先讀第一節目標，並寫低一條你想問的問題。

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
log₂8 等於幾多，為甚麼？	3，因為 2³ = 8；對數就是在問指數是幾多	答「查表」表示未建立定義，要重教第一幕
(a²)³ 與 a² × a³ 分別是甚麼？	a⁶ 與 a⁵：前者是次方的次方，後者是同底相乘	兩者答同一個答案，表示只背口訣未展開過
解 3^(2x−1) = 27 的第一步是甚麼？	把 27 寫成 3³，兩邊同底之後指數相等	直接取 log 而不知為何，可以接受但要有解釋

09　導師常問

學生計數機有 log 鍵，還需要手算嗎？

需要：DSE 要求寫出取對數那一步，計數機只負責最後的數值，過程分不會因為按鍵而得到。

要教自然對數 ln 嗎？

中五先教以 10 為底與一般底 a；ln 在 DSE 只在個別題目出現，知道它是底數 e 的對數就夠。

應用題一定要用對數解嗎？

若指數是整數可以用試算；一旦問「幾多年後」而答案不是整數，就必須取對數，這正是這一章的重點。

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本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。