DSE 数学｜指数与对数备课指引（导师用）

DSE 数学｜指数与对数备课指引（导师用）｜由指数定律推到换底公式

2026-11-03

指数同对数不系两个单元，系同一个关系的两面。学生一乱，多数系因为把“对数”当成新公式背，而不系当成“问指数系几多”。这一堂由一条问题开始，把两边接回去。

本堂目标　学生能够：① 用指数定律化简同底数的乘除与次方，并讲出每一条定律的来源；② 把 aˣ = y 与 log_a y = x 互相翻译，并用换底公式算出 log₂8 = 3 这类值；③ 解 3^(2x−1) = 27 这类方程（得 x = 2），并用 8% 年增长 9 年翻倍、半衰期 8 小时 40 小时后余 3.125% 这两个情境讲出参数的意义。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
指数的意义	2 的 10 次方等于几多？	1024
平方根与次方	9 的 1/2 次方是几多？	3
移项与解一次方程	2x − 1 = 3，x 是几多？	2

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–10 分	一条问题开场	问：2 要自乘几多次才等于 8？再把问题写成 log₂8	答 3，并写出 log₂8 = 3
10–22 分	指数定律	由 2³×2⁴ 展开推三条定律，不直接给公式	自己推出 aᵐ×aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
22–38 分	定义与互换	aˣ = y ↔ log_a y = x，来回翻译十次，包括分数与负指数	每次都能讲出“指数系几多”
38–48 分	换底与计算	用 log₂8 = log8 ÷ log2 算出 3，再算 log₃81	两题都算对并写出步骤
48–55 分	解方程与应用	解 3^(2x−1) = 27；再用 8% 增长与半衰期讲参数	x = {X_ROOT}，并讲出 1.08⁹ ≈ {GROWTH_FACTOR:.2f}
55–60 分	离场三问	即场批，错即场重教对应一幕	三题全对

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：由“几多次”开始，不要由公式开始

黑板上只写一条问题：2 要自乘几多次才等于 8？学生答 3。
然后把同一句话写成数学符号：log₂8 = 3。再问：2 要自乘几多次等于 1024？答 1024 是 2 的 10 次方，所以 log₂1024 = 10。
关键句要讲三次：对数就是在问“指数是几多”。所以 log_a y = x 与 aˣ = y 是同一句话的两种写法，不是两条公式。
再补三个边界：log_a 1 = 0（因为 a⁰ = 1）、log_a a = 1、而 a 必须是正数且不等于 1，y 必须是正数——这三个条件在 DSE 的定义域题目一定会考。

要学生讲：log₅25 是几多？你是用“几多次”还是用公式得出？

第二幕：指数定律：由展开推，不要背

写 2³ × 2⁴ = (2×2×2)(2×2×2×2)，数一数有几个 2，就得 2⁷。同一手法推 aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ 与 (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ。
再处理三个易错位：负指数 a⁻ⁿ = 1/aⁿ（由除法推：a² ÷ a⁵）、零指数 a⁰ = 1（由 aⁿ ÷ aⁿ 推）、分数指数 a^(1/n) = ⁿ√a（由 (a^(1/n))ⁿ = a 推）。
每一步都要学生自己展开一次，因为展开过就不会把 (aᵐ)ⁿ 写成 a^(m+n)。这个错误在 DSE 几乎年年出现，源头就是当初只背不推。

要学生讲：(2³)⁴ 同 2³ × 2⁴ 有什么分别？为什么？

第三幕：换底、解方程、讲应用

换底公式由定义直接推：设 log_a b = x，则 aˣ = b；两边取 log_c，得 x·log_c a = log_c b，所以 x = log_c b ÷ log_c a。用 log₂8 验证：log8 ÷ log2 = 3。
解方程只用一个动作：两边化成同底。3^(2x−1) = 27 = 3³，所以 2x − 1 = 3，x = 2。若底数无法相同，才用对数两边取 log。
应用题要讲参数而不是讲答案：每年增长 8%，9 年后倍数是 1.8⁹ ≈ 2.00（约翻一倍）；半衰期 8 小时，40 小时经过 5 个半衰期，剩下 0.5⁵ = 0.03125，即 3.125%。这两个情境分别对应“1 + r”与“1 − r”，学生要讲得出哪个是增长、哪个是衰减。

要学生讲：为什么半衰期用 0.5 的次方，而通胀用 1.0x 的次方？

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
化简	化简 (2a³)² × a⁻⁴ ÷ a²	先处理括号与次方，再用同底加减指数，最后处理负指数	4a⁶ × a⁻⁴ ÷ a² = 4a⁰ = 4
对数计算	求 log₃81 与 log₂(1/8)	化成同底的次方：81 = 3⁴、1/8 = 2⁻³	4 与 −3
解指数方程	解 5^(x+1) = 125	两边化成同底 5：5^(x+1) = 5³，所以 x + 1 = 3	x = 2
应用	某城市人口每年增长 8%，几年后会翻一倍？	设 1.08ⁿ = 2，两边取 log，n = log2 ÷ log1.08	n ≈ 9 年（1.08⁹ ≈ 2.00）

合理性检查（一定要教）：检查数字：2 的 10 次方是 1024；log₁₀1000 = 3；log₂8 = 3；3^(2×2−1) = 27；1.08 的 9 次方 ≈ 2.00；半衰期 8 小时、40 小时后余 3.125%。全部由 python 计算，堂上不要用“大约两倍”代替倍数；DSE 应用题的评分点通常是“设方程”与“取对数”两步，答案的位数只是最后一格。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
化简 (3x²)³ ÷ (9x⁴)，并写出每一步用了哪条指数定律。	27x⁶ ÷ 9x⁴ = 3x²。	是否先处理系数与次方，再有次序地减指数
解 2^(3x−1) = 32，并检查答案。	2^(3x−1) = 2⁵，3x − 1 = 5，x = 2；代回得 2⁵ = 32。	是否两边化成同底 2，并且有代回检查
某药物半衰期 6 小时，24 小时后剩下百分之几？	24 ÷ 6 = 4 个半衰期，0.5⁴ = 0.0625，即 6.25%。	是否先算半衰期个数，而不是直接 0.5 × 24

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
把对数当新公式	“log₂8 我要查表。”	“不用表。问你自己：2 自乘几多次等于 8？答案就系你要的对数。”
次方相加	“(2³)⁴ = 2⁷。”	“括号外面的 4 系做几多次‘三次方’？展开一次畀我看。”
忽略定义域	“log(−4) 可以计，负数一样有对数。”	“对数问的系‘底数自乘几多次’，正数自乘永远正数，所以真数一定要正。”
应用题用错底	“每年增长 8%，所以用 0.08 的次方。”	“0.08 系增加的比率，不系新旧比例；你要用 1 + 0.08 = 1.08。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

本页独立练习重做　第 1 至 3 题：化简题要写出用了哪条定律，方程题要代回检查，应用题要写出设定方程那一步，下堂先交第 3 题。
预习下一章：直线方程与圆　在科目索引页找出“圆的方程”一章，先读第一节目标，并写低一条你想问的问题。

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
log₂8 等于几多，为什么？	3，因为 2³ = 8；对数就是在问指数是几多	答“查表”表示未建立定义，要重教第一幕
(a²)³ 与 a² × a³ 分别是什么？	a⁶ 与 a⁵：前者是次方的次方，后者是同底相乘	两者答同一个答案，表示只背口诀未展开过
解 3^(2x−1) = 27 的第一步是什么？	把 27 写成 3³，两边同底之后指数相等	直接取 log 而不知为何，可以接受但要有解释

09　导师常问

学生计数机有 log 键，还需要手算吗？

需要：DSE 要求写出取对数那一步，计数机只负责最后的数值，过程分不会因为按键而得到。

要教自然对数 ln 吗？

中五先教以 10 为底与一般底 a；ln 在 DSE 只在个别题目出现，知道它是底数 e 的对数就够。

应用题一定要用对数解吗？

若指数是整数可以用试算；一旦问“几多年后”而答案不是整数，就必须取对数，这正是这一章的重点。

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