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中五数学 多项式余式与因式定理：第 3 份（挑战）
中五数学 多项式余式与因式定理：第 3 份（挑战）
考重因式、三次以上除式、二次函数拟合与联立条件。
直接答案 第 1 至 3 题 a0 b2 c3、是、x + 8；第 4 至 6 题 p0 q−7、3x − 1、a2 b−8；第 7 至 9 题 3、a4 b−3、x − 1；第 10 题 x + 1 不是因式。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 20 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中五数学 多项式余式与因式定理 |
| 适用年级 | 挑战 |
02 题目（10 题）
- 基础三次多项式 f(x) = x³ + ax² + bx + c 满足 f(1) = 6、f(−1) = 0、f(2) = 15，求 a、b、c。
- 基础(x − 1)² 是否 x³ − 3x + 2 的因式？
- 基础求 2x⁴ + 3x³ − x + 5 除以 x³ − 1 的余式。
- 进阶x³ + px² + qx + 6 同时被 x − 1 与 x + 3 整除，求 p 与 q。
- 进阶f(x) 除以 x − 2 余 5、除以 x + 1 余 −4，求除以 (x − 2)(x + 1) 的余式。
- 进阶2x³ + ax² − 8x + b 被 x − 2 与 x + 1 同时整除，求 a 与 b。
- 挑战二次多项式 f(x) 满足 f(1) = 3、f(2) = 5、f(3) = 9，求 f(0)。
- 挑战x³ − 2x² + ax + b 有因式 x − 1，且 f(2) = 5，求 a 与 b。
- 挑战求 x⁴ − 1 除以 x² + x + 1 的余式。
- 错题重练有学生见到 f(1) = 0 就答 x + 1 是 f(x) = x − 1 的因式。错在哪里？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | a = 0，b = 2，c = 3 | 三条方程解出 a = 0、b = 2、c = 3，即 f(x) = x³ + 2x + 3。 |
| 2 | 是，因为 f(1) = 0 且导数在 x = 1 也是 0 | 重因式要两个条件：f(1) = 1 − 3 + 2 = 0，3x² − 3 在 x = 1 亦为 0。 |
| 3 | x + 8 | 用 x³ = 1 代简：2x + 3 − x + 5 = x + 8。 |
| 4 | p = 0，q = −7 | f(1) = 0 给 p + q = −7，f(−3) = 0 给 3p − q = 7，解得 p = 0、q = −7。 |
| 5 | 3x − 1 | 设余式 ax + b，2a + b = 5、−a + b = −4，解得 a = 3、b = −1。 |
| 6 | a = 2，b = −8 | f(2) = 0 给 4a + b = 0，f(−1) = 0 给 a + b = −6，解得 a = 2、b = −8。 |
| 7 | 3 | 设 ax² + bx + c 解得 a = 1、b = −1、c = 3，所以 f(0) = 3。 |
| 8 | a = 4，b = −3 | f(1) = 0 给 a + b = 1，f(2) = 5 给 2a + b = 5，解得 a = 4、b = −3。 |
| 9 | x − 1 | 用 x³ = 1 代简：x⁴ − 1 化为 x − 1。 |
| 10 | 应验 f(−1) = −2，x + 1 不是因式；f(1) = 0 对应 x − 1 | 因式定理要代入令除式为零的值，x + 1 要代 x = −1。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
先写出除式 = 0 的那个 x 值，代入多项式算出余式，再判断是否因式。导师登记 →
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。