DSE 數學｜多項式除法與餘式定理備課指引（導師用）

DSE 數學｜多項式除法與餘式定理備課指引（導師用）｜長除法三步、餘式 1 與三個根

2026-11-05

學生一見三次式除以一次式就想跳過，考場上卻連「商幾次」都寫錯。這一堂只用三步手勢加兩個定理，把除法變成可檢查的流程。

本堂目標　學生能夠：① 用長除法把 3 次多項式除以一次式，寫出 2 次商與餘式；② 用餘式定理直接代入求餘式，並講出為何可以不做除法；③ 用因式定理判斷一次式是否因式，把三次式完全分解成三個一次因式。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
多項式次數	3x³ − 5x² + 2x − 7 的次數是多少	3 次（最高次項的指數）
代入運算	把 x = 2 代入 3x³ 得多少	24
基本因式分解	x² − 2x − 3 如何分解	(x − 3)(x + 1)

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–8 分	開場對比	同一題用長除法與代入法各做一次，問哪個快	比較兩個餘式
8–20 分	長除法三步	除、乘、減，拉下一項；3x³−5x²+2x−7 除以 x−2	自己除一次
20–32 分	餘式定理	除式 x−a 餘 p(a)，用 p(2)=1 對答案	口算三個代入
32–44 分	除式 ax−b	2x−1 要代 x=0.5，餘 4	自己算一次
44–56 分	因式定理	x³−4x²+x+6 試 ±1、±2、±3 找根，再分解	四人一組各試一個數
56–60 分	離場檢查	三題收回即批	獨立完成

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：長除法只有三個動作：除、乘、減

第一步除：3x³ ÷ x 得 3x²，寫在商的位置。第二步乘：3x² × (x−2) = 3x³ − 6x²。第三步減：(3x³ − 5x²) − (3x³ − 6x²) = x²，然後拉下 +2x。
重複三次得到商 3x² + x + 4、餘 1。缺項一定要補 0（例如 x³ + 1 要寫成 x³ + 0x² + 0x + 1），否則一定對錯位。

要學生做：把三次「乘」的結果寫在另一行，逐行對位，錯位就重做。

第二幕：餘式定理：把除法換成一次代入

p(x) 除以 (x − a)，餘式就是 p(a)。用剛才的題目驗：p(2) = 3(8) − 5(4) + 2(2) − 7 = 1，與長除法一致。
推廣一層：除式是 ax − b 時，令 ax − b = 0 得 x = b/a，餘式是 p(b/a)。所以 2x − 1 要代 0.5。另以 2x³ + 3x² − 4x + 5 為例，p(0.5) = 4，不是代 −0.5，也不是代 1。

要學生講：為甚麼除式次數越低，代入法越省時；如果除式是二次，餘式會是甚麼形狀。

第三幕：因式定理：餘式為 0 就是因式

由餘式定理直接推出：p(a) = 0 等價於 (x − a) 是因式。試 x³ − 4x² + x + 6：p(2) = 8 − 16 + 2 + 6 = 0，所以 (x − 2) 是因式，長除得商 x² − 2x − 3，再分解成 (x − 3)(x + 1)。三個根是 2、3、−1。
檢查：三根相乘 = −6，正好等於 −(常數項) ÷ 首項係數 = −6；這個檢查三十秒做完，錯根一定捉到。

要學生做：先用常數項 6 的因數列出候選 ±1、±2、±3、±6，再逐個代入，不准亂試。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
長除法求商與餘	三次式除以一次式	除、乘、減、拉，逐行對位	商次數＝被除次數 − 1
餘式定理	求除以 x−a 或 ax−b 的餘式	先令除式為 0 解 a，再代 p(a)	2x−1 要代 0.5
因式定理與完全分解	證明一次式是因式並分解到底	代入得 0 → 長除 → 再分解	最後寫齊所有根
未知係數題	已知餘式求 k	先寫 p(a) 的表達式，再令等於已知餘式	記得餘式可為負

合理性檢查（一定要教）：合理性檢查：商是 3x² + x + 4（二次），因為被除式三次、除式一次；餘式必須是常數，不可能仍含 x；p(2) = 1 與長除法餘 1 一致；三個根 2、3、−1 乘積 −6，與常數項 6 相符。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
長除法	2x³ + x² − 5x + 3 除以 x + 1	逐行對位，缺項補 0
餘式定理	同一題改用代入法求餘式	兩個答案要一樣
因式定理	x³ − 2x² − 5x + 6 的因式	候選 ±1、±2、±3、±6
未知係數	p(x) = x³ + kx − 4 除以 x − 2 餘 6，求 k	先寫 p(2) 再解方程

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
長除法錯位	把 3x² 乘出來的項對到 x² 行	「x³ 對 x³、x² 對 x²；錯一行，之後全錯。」
除式 ax−b 代錯值	2x − 1 代 x = −0.5	「令 2x − 1 = 0，x 是幾多？先解方程才代入。」
餘式寫成含 x 的表達式	餘式答「x + 1」	「除式是一次，餘式只能是常數；含 x 即代表你除唔夠次。」
找到一個根就停手	只寫 (x − 2) 就當分解完	「題目要完全分解，商仍然二次，要繼續拆到三個一次因式。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

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本章重做　重做長除法與因式分解各兩題，每步寫出處

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
p(x) 除以 x − 2 的餘式	p(2)，本例為 1	答「做長除法先」＝回到第一幕
2x − 1 要代入哪個值	x = 0.5	答「−0.5」＝重講第二幕
x³ − 4x² + x + 6 的三個根	2、3、−1	只答一個＝重講第三幕

09　導師常問

長除法一定要寫？

餘式定理快，但長除法給你商；題目要分解就一定要除。兩者是互補，不是替代。

可以只用計算機試根嗎？

可以用來核對，但步驟分在候選與代入；先列常數項的因數，再逐個代。

三次式一定有三個實根嗎？

不一定，可以有重根或一實兩複；DSE 題目多數設計成三個實根，但答案要按題意寫。

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本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。