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DSE 数学｜多项式除法与余式定理 备课指引（导师用）｜长除法三步、余式 1 与三个根
学生一见三次式除以一次式就想跳过，考场上却连“商几次”都写错。这一堂只用三步手势加两个定理，把除法变成可检查的流程。
本堂目标 学生能够：① 用长除法把 3 次多项式除以一次式，写出 2 次商与余式；② 用余式定理直接代入求余式，并讲出为何可以不做除法；③ 用因式定理判断一次式是否因式，把三次式完全分解成三个一次因式。
01 先备知识（开课前 3 分钟快检）
以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：
| 技能 | 快检题 | 过关标准 |
|---|---|---|
| 多项式次数 | 3x³ − 5x² + 2x − 7 的次数是多少 | 3 次（最高次项的指数） |
| 代入运算 | 把 x = 2 代入 3x³ 得多少 | 24 |
| 基本因式分解 | x² − 2x − 3 如何分解 | (x − 3)(x + 1) |
02 课堂流程（60 分钟）
| 时间 | 环节 | 导师做什么 | 学生做什么 |
|---|---|---|---|
| 0–8 分 | 开场对比 | 同一题用长除法与代入法各做一次，问哪个快 | 比较两个余式 |
| 8–20 分 | 长除法三步 | 除、乘、减，拉下一项；3x³−5x²+2x−7 除以 x−2 | 自己除一次 |
| 20–32 分 | 余式定理 | 除式 x−a 余 p(a)，用 p(2)=1 对答案 | 口算三个代入 |
| 32–44 分 | 除式 ax−b | 2x−1 要代 x=0.5，余 4 | 自己算一次 |
| 44–56 分 | 因式定理 | x³−4x²+x+6 试 ±1、±2、±3 找根，再分解 | 四人一组各试一个数 |
| 56–60 分 | 离场检查 | 三题收回即批 | 独立完成 |
03 讲解脚本（照着说就可以）
第一幕：长除法只有三个动作：除、乘、减
第一步除：3x³ ÷ x 得 3x²，写在商的位置。第二步乘：3x² × (x−2) = 3x³ − 6x²。第三步减：(3x³ − 5x²) − (3x³ − 6x²) = x²，然后拉下 +2x。
重复三次得到商 3x² + x + 4、余 1。缺项一定要补 0（例如 x³ + 1 要写成 x³ + 0x² + 0x + 1），否则一定对错位。
重复三次得到商 3x² + x + 4、余 1。缺项一定要补 0（例如 x³ + 1 要写成 x³ + 0x² + 0x + 1），否则一定对错位。
要学生做：把三次“乘”的结果写在另一行，逐行对位，错位就重做。
第二幕：余式定理：把除法换成一次代入
p(x) 除以 (x − a)，余式就是 p(a)。用刚才的题目验：p(2) = 3(8) − 5(4) + 2(2) − 7 = 1，与长除法一致。
推广一层：除式是 ax − b 时，令 ax − b = 0 得 x = b/a，余式是 p(b/a)。所以 2x − 1 要代 0.5。另以 2x³ + 3x² − 4x + 5 为例，p(0.5) = 4，不是代 −0.5，也不是代 1。
推广一层：除式是 ax − b 时，令 ax − b = 0 得 x = b/a，余式是 p(b/a)。所以 2x − 1 要代 0.5。另以 2x³ + 3x² − 4x + 5 为例，p(0.5) = 4，不是代 −0.5，也不是代 1。
要学生讲：为什么除式次数越低，代入法越省时；如果除式是二次，余式会是什么形状。
第三幕：因式定理：余式为 0 就是因式
由余式定理直接推出：p(a) = 0 等价于 (x − a) 是因式。试 x³ − 4x² + x + 6：p(2) = 8 − 16 + 2 + 6 = 0，所以 (x − 2) 是因式，长除得商 x² − 2x − 3，再分解成 (x − 3)(x + 1)。三个根是 2、3、−1。
检查：三根相乘 = −6，正好等于 −(常数项) ÷ 首项系数 = −6；这个检查三十秒做完，错根一定捉到。
检查：三根相乘 = −6，正好等于 −(常数项) ÷ 首项系数 = −6；这个检查三十秒做完，错根一定捉到。
要学生做：先用常数项 6 的因数列出候选 ±1、±2、±3、±6，再逐个代入，不准乱试。
04 必教题型与步骤
| 题型 | 例子 | 步骤 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 长除法求商与余 | 三次式除以一次式 | 除、乘、减、拉，逐行对位 | 商次数＝被除次数 − 1 |
| 余式定理 | 求除以 x−a 或 ax−b 的余式 | 先令除式为 0 解 a，再代 p(a) | 2x−1 要代 0.5 |
| 因式定理与完全分解 | 证明一次式是因式并分解到底 | 代入得 0 → 长除 → 再分解 | 最后写齐所有根 |
| 未知系数题 | 已知余式求 k | 先写 p(a) 的表达式，再令等于已知余式 | 记得余式可为负 |
合理性检查（一定要教）：合理性检查：商是 3x² + x + 4（二次），因为被除式三次、除式一次；余式必须是常数，不可能仍含 x；p(2) = 1 与长除法余 1 一致；三个根 2、3、−1 乘积 −6，与常数项 6 相符。
05 独立练习三题
| 题目 | 答案 | 想观察什么 |
|---|---|---|
| 长除法 | 2x³ + x² − 5x + 3 除以 x + 1 | 逐行对位，缺项补 0 |
| 余式定理 | 同一题改用代入法求余式 | 两个答案要一样 |
| 因式定理 | x³ − 2x² − 5x + 6 的因式 | 候选 ±1、±2、±3、±6 |
| 未知系数 | p(x) = x³ + kx − 4 除以 x − 2 余 6，求 k | 先写 p(2) 再解方程 |
06 学生常见错误与纠正句
| 错误 | 学生通常这样写 | 导师这样说 |
|---|---|---|
| 长除法错位 | 把 3x² 乘出来的项对到 x² 行 | “x³ 对 x³、x² 对 x²；错一行，之后全错。” |
| 除式 ax−b 代错值 | 2x − 1 代 x = −0.5 | “令 2x − 1 = 0，x 是几多？先解方程才代入。” |
| 余式写成含 x 的表达式 | 余式答“x + 1” | “除式是一次，余式只能是常数；含 x 即代表你除不够次。” |
| 找到一个根就停手 | 只写 (x − 2) 就当分解完 | “题目要完全分解，商仍然二次，要继续拆到三个一次因式。” |
07 家课建议（直接指到练习卷题号）
08 离场检查（最后 5 分钟）
| 题目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| p(x) 除以 x − 2 的余式 | p(2)，本例为 1 | 答“做长除法先”＝回到第一幕 |
| 2x − 1 要代入哪个值 | x = 0.5 | 答“−0.5”＝重讲第二幕 |
| x³ − 4x² + x + 6 的三个根 | 2、3、−1 | 只答一个＝重讲第三幕 |
09 导师常问
长除法一定要写？
余式定理快，但长除法给你商；题目要分解就一定要除。两者是互补，不是替代。
可以只用计算机试根吗？
可以用来核对，但步骤分在候选与代入；先列常数项的因数，再逐个代。
三次式一定有三个实根吗？
不一定，可以有重根或一实两复；DSE 题目多数设计成三个实根，但答案要按题意写。
本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。